Teilmengen von diskreter Metrik

Question

Angenommen wir haben einen metrischen Raum mit (X,d) wobei X eine Menge ist und d die diskrete Metrik. Ich wollte nur wissen wieso jede Teilmenge von X offen ist und auch abgeschlossen ist. Ich kann mir es irgendwie schwer vorstellen.

Answer 1

Wenn \(x\in X\) ein beliebiger Punkt ist, was ist dann der Epsilon-ball um \(x\) mit Radius \(\frac{1}{2}\)?

Kannst du also jetzt jede beliebige Teilmenge von \(X\) als Vereinigung von Bällen schreiben, was ja Offenheit bedeutet?

Wenn jede Teilmenge von \(X\) offen ist, dann ist auch jede Teilmenge von \(X\) abgeschlossen, weil...?

Comments

Ja wenn wenn du epsilon=1/2 sagst, dann ist d(x,y)=0 und das ist ja der Fall wenn x=y ist. Das ist mir schon klar, aber müsste mann nicht auch den Fall x≠y betrachten, sollte man hier epsilon≥1 wählen ?

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Aso ich meine, epsilon>1

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Um den Plan aufzuräumen: Wir wollen zeigen, dass jede Menge offen ist. Das tun wir, indem wir jede Menge als Vereinigung von Bällen schreiben.

Jetzt mal ganz konkret: Was ist \(B_{\frac{1}{2}}(x)\)? Ganz explizit als Menge, was sind die Elemente?

Mit dem Wissen bewaffnet: Haben wir eine beliebige Menge \(M\subseteq X\), wie schreiben wir \(M\) als Vereinigung von diesen Bällen?

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B_1/2 (x)= {x}. Und M würden wir schreiben als M=⋃x∈M {x}.

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Ja, genau. Hast du alles hinbekommen von da?

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Ja und abgeschlossen sind auch alle Teilmengen, da X\M eben auch eine Teilmenge von X offen. Und wie wir gerade festgestellt haben sind ja alle Teilmengen von X offen. Also sind alle Teilmengen offen und abgeschlossen

Das Einzige was ich mich eben frage (nur zum Verständnis). Wenn wir B_1/2 (x)= {x} eben betrachten, betrachten wir dann eigentlich nur den Fall wenn d(x,x)=0? Reicht das etwa aus?