Projektion Formel Einheitsvektor Betrag

Question

Die Formel für die Projektion eines Vektors a auf den Vektor b, lautet$$\frac{\left<a,\,b\right>}{\|b\|}\cdot  \frac{b}{\|b\|}$$ den Vektor b mit dem Skalar Kehrwert des Betrags von b ist ein normierter Vektor, sodass <a,b>/||b|| die Länge des Vektors angibt. Wie kann man dies mathematisch zeigen?

Answer 1

Das Skalarprodukt

$$\vec a \cdot \vec b = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos(\gamma)$$

ist die Länge von Vektor b mal die Länge von Vektor a in Richtung des Vektors b.

Teilt man das durch die Länge des Vektors b hat man nur noch die Länge von Vektor a entlang des Vektors von b.

Zeichne dir auch eine Skizze davon auf.

Multipliziert man das mit dem Einheitsvektor von b, bekommt man den Vektor der entsteht, wenn man den Vektor a auf den Vektor b projiziert.

Comments

Eine einzige Formel in der Antwort, und die ist auch noch falsch.

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Üblicherweise ist doch der Winkel \(\gamma\) der Winkel zwischen den beiden Vektoren. Daher müsste dort \(\cos \gamma\) statt \(\sin \gamma\) stehen.

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Wenn man nicht sagt, was \(\gamma\) ist, könnte die Formel auch noch stimmen. So wie sie da steht, ist sie wertlos (aber "beste Antwort", sieht ja erstmal gut aus).

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Es heißt doch aber auch "It's a sin" und nicht "It's a cos".

;-)

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Richtig. Da muss der Kosinus stehen. Die textliche Formulierung war aber so korrekt und drückt das aus, was man berechnet.

Ich habe den Sinus aber richtigerweise durch den Kosinus ersetzt.

Answer 2

Sei \( \vec{p} \) die gesuchte Projektion, dann ist die Länge von \( \vec{p} \) bekannt:

|\( \vec{p} \)|=\( \frac{\vec{a}·\vec{b}}{|\vec{b}|} \). Also kennst du Länge und Richtung von \( \vec{p} \). Den Rest kannst du sicher auch allein.