Habe ich die Induktion richtig gelöst?

Question

Habe ich die Induktion richtig und sinnvoll gelöst?

n²>n+1 für alle n≥2

Induktionsanfang: 2²>2+1

Induktionsvoraussetzung: n²>n+1 für alle n∈ℕ

Induktionsbehauptung: (n+1)²>(n+1)+1

Induktionsschluss:

(n+1)²>(n+1)+1

n²+2n+1²>n+2 | -1

n²+2n>n+1

Answer 1

Das kannst du so nicht machen. Du fängst mit dem erst noch zu beweisenden (n+1)²>(n+1)+1 an. So geht das aber nicht, selbst wenn deine Umformungen äquivalent sind, denn du bleibst dann bei dem unbewiesenen

n²+2n>n+1

hängen.

Du musst die Induktionsvoraussetzung als wahr annehmen und daraus weiter schlussfolgern.

Aus n²>n+1

folgt durch beidseitige Addition von 2n+1:

n²+2n+1>3n+2

bzw.

(n+1)²>(n+1) + (2n+1)

(Zeigen willst du, dass (n+1)²>(n+1) + 1 gilt.)

Bekommst du den letzten Schritt selbst hin?

Comments

Super danke, jetzt weiß ich wie ich vorgehen muss bei Ungleichungen. In der letzten Zeile bleiben bei mir immer "Reste" übrig, ist das normal? Jetzt zum Beispiel bei dieser Aufgabe, würden da nicht 2n übrig bleiben?

Answer 2

Nein. In einem anderen Forum wurde Dir doch dazu schon was gesagt. Warum berücksichtigst Du das nicht?

"Induktionsanfang: 2²>2+1": so what? Einfach nur die Beh. des Ind.Anf. hingeschrieben.

"Induktionsvoraussetzung: n²>n+1 für alle n∈ℕ": Nein. "Gelte.... für EIN n∈ℕ.

Ind.Beh. stimmt.

"Induktionsschluss:"

Da stehen ein paar Ungleichungen untereinander - wie ist der Zusammenhang, was hat das mit Ind.Ann./Ind.Beh. zu tun?

Im Ind.Schluss beginne mit einer Seite der Ind.Beh. und bilde unter Benutzung (und Markierung!) der Ind.Ann. eine Kette, so dass am Ende die andere Seite der Ind.Beh. da steht.

Also: \((n+1)^2=...> (Ind.Ann.) = bzw. >... n+1\).

Comments

Ich bin nur in diesem Forum aktiv, die Person aus einem anderen Forum muss also jemand anderes sein.

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Ok, dann nehme ich den zweiten und dritten Satz zurück.

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Die Frage wurde hier vor kurzem von jemand anderem gestellt. Aber bei der tollen Suchfunktion findet man sie nicht auf Anhieb.

Ach hier: https://www.mathelounge.de/1089811/beweisen-sie-n-n-1-durch-vollstandige-induktion