Question

Habe ich den Induktionsbeweis für die Ungleichung richtig gelöst?

Falls nein, was habe ich falsch gemacht?

Ich tue mich nämlich sehr schwer damit..

Answer 1

In Deiner IV muss es heißen \( \forall~ n \dots \)

Den Rest machst Du umständlich:

Wenn Du auf \( n^2 > 2 \) kommen willst, kannst Du Deinen IB einfach ausmultiplizieren und zusammenfassen; dabei wird Deine IA aber nicht benötigt

Wenn Du sie unbedingt benutzen willst, dann:

\( n^2-2n−1+2n−1 > 0+2n-1 > 0 \)

\( \iff 2n-1 > 0 \)

Und völig ohne vollst. Ind.:

\( n^2-2n−1 > 0 \)

\( \iff (n-1) ^2 > 2 \)

Comments

Dankeschön für die Antwort :)

Kannst du mir nur noch erklären, wie du es geschafft hat nach 2n-1>0 zu kommen?

Ich kann das nicht so ganz nachvollziehen, wie das aufgelöst wurde

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Bei voll. Ind. mit Ungleichungen musst Du fast immer etwas dazwischenschieben, was mit Deiner Bedingung zu tun hat:

\(n^2-2n−1+2n−1 > 0 \)

Das ist das Gleiche, wie Du auch hast. Nun schiebst Du Deine Bedingung dazwischen. Wegen Deiner Bedingung

\(n^2-2n−1 > 0 \quad |~ +2n-1  \)

gilt natürlich auch

\(n^2-2n−1+2n−1 > 0+2n-1 > 0 \)

Dann wird nur noch mit der rechten Seite weitergerechnet.

Hinweis:

Sowohl bei \( n^2 > 2 \) als auch bei \( (n-1)^2 > 2 \) musst Du auf die streng steigende Monotonie der Quadratfunktion hinweisen, sonst funktioniert das nicht (theoretisch könnte die Funktion irgendwann ja auch wieder nach unten gehen, dann ist Dein ganzer Beweis falsch.)

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Dankeschön, hab es verstanden :)