Wegen \(0^3+1^3+2^3=9\) kommen als größter gemeinsamer Teiler nur die Zahlen \(1\), \(3\) und \(9\) in Frage.
Hypothese: der ggT all dieser Summen ist 9.
Beweis:
\((n-1)^3+n^3+(n+1)^3=n^3-3n^2+3n-1+n^3+n^3+3n^2+3n+1=3n^3+6n=3(n^3+2n)\)
Dieser Ausdruck ist offenbar durch 3 teilbar. Bleibt zu zeigen, dass \(n^3+2n=n(n^2+2)\) ebenfalls durch 3 teilbar ist. Dazu betrachten wir die Reste, die \(n\) bei Division mit 3 lassen kann:
1. \(n\equiv 0 \mod 3\):
Dann ist \(0(0^2+2)=0\) und der Ausdruck somit durch 3 teilbar.
2. \(n\equiv 1\mod 3\):
Dann ist \(1(1^2+2)=3\) und der Ausdruck durch 3 teilbar.
3. \(n\equiv 2\mod 3\):
Dann ist \(2(2^2+2)=12\) und der Ausdruck durch 3 teilbar.
Für jeden Rest, den \(n\) mit 3 lassen kann, ist der Ausdruck also durch 3 teilbar. Zusammen mit dem Resultat von oben erhalten wir insgesamt die Teilbarkeit durch 9.
Alternativ kann man auch direkt den Rest von
\((n-1)^3 + n^3 + (n+1)^3\) modulo 9 betrachten. Einer dieser Summanden lässt den Rest 0, einer 1 und einer 2. Damit gilt
\(0^3+1^3+2^3=9 \equiv 0 \mod 9\).
Das ist sogar wesentlich eleganter, weil der Beweis dann schon direkt vor der Hypothese steht. ;)
