Summen aufeinanderfolgender Quadatzahlen

Question

Der Quotient der Summen je zweier aufeinanderfolgender Quadratzahlen (zwei Summanden im Zähler, zwei im Nenner) kann nicht 2 sein, denn dann müsste es natürliche Zahlen m und n geben, sodass \( \frac{n^2+(n+1)^2}{m^2+(m+1)^2} \) =2 und folglich m=(√(2n∙(n+1))-1)/2. Es gibt aber kein natürliches Zahlenpaar mit dieser Eigenschaft, weil 2n∙(n+1) gerade ist. Die Wurzel aus einer geraden Zahl ist gerade und vermindert um 1 ungerade und die Hälfte einer ungeraden Zahl ist keine natürliche Zahl.

Etwas Entsprechendes lässt ich auch für den Quotienten der Summen je dreier Quadratzahlen feststellen. Auch dieser kann nicht den Wert 2 annehmen. Denn dann müsste gelten m=√((3n^2+6n+1)/6)-1, was aber von keinem natürlichen Zahlenpaar [m,n] gelöst wird, weil die Wurzel nach dem rational machen des Nenners immer ein Bruch (Sechstel oder Drittel im Nenner) ist.

Es ist jedoch möglich, einen Bruch mit dem Wert 2 so dazustellen, dass sowohl im Zähler als auch im Nenner die Summe von fünf aufeinanderfolgenden Quadratzahlen steht. Die Anzahl solcher Brüche ist sogar unendlich.

Die Darstellung
(*)  \( \dfrac{n^2+(n+1)^2+(n+2)^2+(n+3)^2+(n+4)^2}{(n-k)^2+(n-k+1)^2+(n-k+2)^2+(n-k+3)^2+(n-k+4)^2} \)
hat für n die positive Lösung
(**) n=√(2∙) (√(k^2-1)+√2∙(k-1)).
Die Frage, wann n eine natürliche Zahl ist, kann für k<100 schnell mit einem kleinen Computerprogramm geklärt werden. Die tabellarische Darstellung dieser Klärung ist:

n	8	56	336
k	3	17	99

Die Darstellungen der hier relevanten Brüche mit den kleinsten Zahlen sind dann $$ \frac{8^2+9^2+10^2+11^2+12^2}{5^2+6^2+7^2+8^2+9^2}  =2 $$ $$ \frac{56^2+57^2+58^2+59^2+60^2}{39^2+40^2+41^2+42^2+43^2}  =2 $$ $$ \frac{336^2+337^2+338^2+339^2+340^2}{237^2+238^2+238^2+240^2+241^2}  =2 $$ Für weitere geeignete Zahlenpaare (n, k) kann diese Suche je nach Programm recht aufwändig werden und es wäre von Vorteil, einen Zahlenbereich zu kennen in dem zum Beispiel k liegt. In der bisher gefundenen Wertefolge für k, nämlich k₁=3, k₂=17, k₃=99 fällt auf, dass k₃ aus k₂ und k₁ entwickelt werden kann. k₃=99 entsteht nach Multiplikation von k₂=17 mit 17/3 und anschließendem Aufrunden. Wenn wir diese Rekursion fortführen, entsteht diese Wertefolge für k: 3, 17, 99, 577, 3363, 19601, 114243, ….
Nur, wenn man durch Einsetzen in Formel (**) nachweisen kann, dass zu jedem k∈N, eine natürliche Zahl n gefunden wird, erscheint die etwas gewagte Rekursion nachträglich sinnvoll. Nach diesem Prinzip erhält man rekursiv die Tabelle:

Basis der vordersten Quadratzahl im

Zähler	Nenner
56	56-17
336	336-99
1968	1968 – 577
11480	11480 – 3363
66920	66920 – 19601
390084	390084 – 114243
2273376	2273376 – 665857
13250216	13250216 – 3880899
77227928	77227928 – 22619537
450117360	450117360 – 131836323
2623476240	2623476240 – 768398401
15290740088	15290740088 – 4478554083

In dieser Tabelle fehlt allerdings die Zeile

Zähler	Nenner
8	8-3

Das kleinste Paar (n,k)=(8,3) ist offenbar als Rekursionsanfang ungeeignet.

Comments

k₃=99 entsteht nach Multiplikation von k₂=17 mit 17/3 und anschließendem Aufrunden. Wenn wir diese Rekursion fortführen, entsteht diese Wertefolge für k: 3, 17, 99, 577, 3363, 19601, 114243, ….

Setze \(k_0=1\) und es ist ja \(k_1=3\), dann ist$$k_{n+1} = 6k_n - k_{n-1}\quad\quad k \ge 1$$

---

Danke! Dass mir das nicht selber aufgefallen ist!

---

und aus $$\begin{pmatrix} k_n\\k_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} k_{n-1}\\k_{n} \end{pmatrix}$$ folgt dann nach der Diagonalisierung der Matrix:$$k_{n}= \frac{1}{2}(3+2\sqrt{2})^{n}+\frac{1}{2}(3-2\sqrt{2})^{n}$$vielleicht hilft das weiter

---

@Werner: Offenbar geht es um eine explizite Darstellung von k_n, auf die ich ebenfalls nicht ohne dich gestoßen wäre. Ganz herzlichen Dank! Das erinnert doch sehr an die explizite Darstellung der Fibonacci-Folge. Ich habe die Vermutung, dass man die Folge (k_n)_n∈IN auch in der OEIS findet. - Werde gleich mal nachschauen.

---

Laut OEIS gibt es eine ganze Vielfalt von Konstruktionsvorschriften für diese Folge. Diejenige, welche auf die Darstellung eines Bruches mit dem Wert 2 zurückgeht, sodass sowohl im Zähler als auch im Nenner die Summe von fünf aufeinanderfolgenden Quadratzahlen steht, ist nicht darunter.