Linearkombination zweier aufeinanderfolgender ungerader Zahlen

Question

Also, die folgende Aufgabe bereitet mir gerade ein bisschen Kopfzerbrechen:

Sei k∈N beliebig. Geben Sie eine Linearkombination von 2k-1 und 2k+1 an, deren Wert 1 ist. Weisen Sie nach, dass die Linearkombination der Wert 1 hat.

Der zweite Teil dürfte, wenn ich einmal die Idee habe, wie ich auf eine Linearkombination komme, kein Problem sein.
Ich hab erstmal wie folgt angefangen:

(2k-1)·x+(2k+1)·y=1

Wenn ich das jetzt aber aus multipliziere usw. komme ich nur darauf, dass x=-0,5 und y=0,5 sein müssen. Was aber laut Definition nicht sein darf (da x und y ganze zahlen sein müssen)

Mir würde wahrscheinlich jeder kleine Tipp irgendwie weiter helfen.

Answer 1

Hallo JenJen,

Du hast die Annahme getroffen, dass die Koeffizienten \(x\) und \(y\) für alle \(k\) gleich sein. das ist ja keine Bedingung!

Ansatz:

$$x(k) \cdot (2k-1) + y(k) \cdot (2k +1)=1$$ mit \(x(k)=a\cdot k + b\) und \(y(k) = c \cdot k + d\), gibt

$$a=c; \quad b-a-d=0; \quad -(b+d)=1$$

Setzt man \(a=1\) so erhält man

$$x(k)=k$$ $$y(k)=k-1$$

Aufgabe "Weisen Sie nach, dass die Linearkombination den Wert 1 hat." Einfach einsetzen, das schaffst Du alleine.

Gruß Werner

Comments

Also das x und y hatte ich dann auch durch Probieren heraus bekommen - aber jetzt weiß ich auf jeden Fall, wie man darauf kommt! Ich danke dir, ich wäre da wahrscheinlich nicht selbst drauf gekommen :) 

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Vielleicht kannst du mir noch einmal kurz helfen? Ich soll in einer anderen Aufgabe begründen, warum zwei aufeinanderfolgende ungerade Zahlen stets teilerfremd sind, ohne dabei auf die Linearkombination zu verweisen. Laut Punkteverteilung (1P) wird da wohl was kurzes reichen, jedoch fehlt mehr die Idee. Wäre es sinnvoll, da vielleicht mit einer Primfaktorzerlegung zu argumentieren? 

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Hallo JenJen,

Primzahlzerlegung geht sicher auch irgendwie, was mir spontan einfällt ist ein Widerspruchsbeweis:

Annahme: zwei (ganze) ungerade Zahlen \(z\) und \(z+2\) hätten einen gemeinsamen Teiler \(t>2\). '\(>2\)' und nicht '\(\ge2\)' da beide Zahlen ungerade und daher nicht durch 2 teilbar sind. Dann muss auch gelten:

$$z \equiv z+2 \equiv 0 \mod t$$ daraus folgt:

$$2 \equiv 0 \mod t$$

und das ist ein Widerspruch zu \(t > 2\) (s.o.). Also ist obige Annahme falsch.

Tipp: Solche Fragen nicht als Kommentar sondern in mathelounge.de als neue Frage einstellen; dann wird die Frage auch von anderen bemerkt. Du kannst ja zusätzlich hier einen Kommentar an mich einfügen und auf die neue Frage verweisen. Dann bekommst Du auch schneller eine Antwort.

Gruß Werner