Der Quotient der Summen je zweier aufeinanderfolgender Quadratzahlen (zwei Summanden im Zähler, zwei im Nenner) kann nicht 2 sein, denn dann müsste es natürliche Zahlen m und n geben, sodass \( \frac{n^2+(n+1)^2}{m^2+(m+1)^2} \) =2 und folglich m=(√(2n∙(n+1))-1)/2. Es gibt aber kein natürliches Zahlenpaar mit dieser Eigenschaft, weil 2n∙(n+1) gerade ist. Die Wurzel aus einer geraden Zahl ist gerade und vermindert um 1 ungerade und die Hälfte einer ungeraden Zahl ist keine natürliche Zahl.
Etwas Entsprechendes lässt ich auch für den Quotienten der Summen je dreier Quadratzahlen feststellen. Auch dieser kann nicht den Wert 2 annehmen. Denn dann müsste gelten m=√((3n^2+6n+1)/6)-1, was aber von keinem natürlichen Zahlenpaar [m,n] gelöst wird, weil die Wurzel nach dem rational machen des Nenners immer ein Bruch (Sechstel oder Drittel im Nenner) ist.
Es ist jedoch möglich, einen Bruch mit dem Wert 2 so dazustellen, dass sowohl im Zähler als auch im Nenner die Summe von fünf aufeinanderfolgenden Quadratzahlen steht. Die Anzahl solcher Brüche ist sogar unendlich.
Die Darstellung
(*) \( \dfrac{n^2+(n+1)^2+(n+2)^2+(n+3)^2+(n+4)^2}{(n-k)^2+(n-k+1)^2+(n-k+2)^2+(n-k+3)^2+(n-k+4)^2} \)
hat für n die positive Lösung
(**) n=√(2∙) (√(k^2-1)+√2∙(k-1)).
Die Frage, wann n eine natürliche Zahl ist, kann für k<100 schnell mit einem kleinen Computerprogramm geklärt werden. Die tabellarische Darstellung dieser Klärung ist:
Die Darstellungen der hier relevanten Brüche mit den kleinsten Zahlen sind dann $$ \frac{8^2+9^2+10^2+11^2+12^2}{5^2+6^2+7^2+8^2+9^2} =2 $$ $$ \frac{56^2+57^2+58^2+59^2+60^2}{39^2+40^2+41^2+42^2+43^2} =2 $$ $$ \frac{336^2+337^2+338^2+339^2+340^2}{237^2+238^2+238^2+240^2+241^2} =2 $$ Für weitere geeignete Zahlenpaare (n, k) kann diese Suche je nach Programm recht aufwändig werden und es wäre von Vorteil, einen Zahlenbereich zu kennen in dem zum Beispiel k liegt. In der bisher gefundenen Wertefolge für k, nämlich k1=3, k2=17, k3=99 fällt auf, dass k3 aus k2 und k1 entwickelt werden kann. k3=99 entsteht nach Multiplikation von k2=17 mit 17/3 und anschließendem Aufrunden. Wenn wir diese Rekursion fortführen, entsteht diese Wertefolge für k: 3, 17, 99, 577, 3363, 19601, 114243, ….
Nur, wenn man durch Einsetzen in Formel (**) nachweisen kann, dass zu jedem k∈N, eine natürliche Zahl n gefunden wird, erscheint die etwas gewagte Rekursion nachträglich sinnvoll. Nach diesem Prinzip erhält man rekursiv die Tabelle:
Basis der vordersten Quadratzahl im
Zähler | Nenner |
56 | 56-17 |
336 | 336-99 |
1968
| 1968 – 577
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11480
| 11480 – 3363
|
66920
| 66920 – 19601
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390084
| 390084 – 114243
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2273376
| 2273376 – 665857
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13250216
| 13250216 – 3880899
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77227928
| 77227928 – 22619537
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450117360
| 450117360 – 131836323
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2623476240
| 2623476240 – 768398401
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15290740088
| 15290740088 – 4478554083
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In dieser Tabelle fehlt allerdings die Zeile
Das kleinste Paar (n,k)=(8,3) ist offenbar als Rekursionsanfang ungeeignet.