Aufgabe:
Laplace Transformation
\(f(t) =\sqrt{t}\)
Problem/Ansatz:
Ich versuche hier diese Aufgabe zu berechnen, indem ich den Laplace Transformation verwenden muss um die Funktion zu berechnen.
Ich habe es soweit hinbekommen, dass ich jetzt bis
\(\int_0^{\infty} e^{-u} u^{\frac{1}{2}} \, du\) angelangt bin.
Das heißt, das ich ja erstmal mit der Gammafunktion rechnen muss.
Das was mich allerdings noch irritiert wegen der Gammafunktion ist, dass ich nicht ganz verstehe wie man die den Wert genau berechnet.
Also ich für \(n= \frac{3}{2}\) heraus bekommen, nun muss ich ja \(f(n)= (n-1)!\) berechnen, bzw. einsetzen:
Das heißt es kommt \((\frac{1}{2})!\) raus, allerdings lässt sich \((\frac{1}{2})!\) nicht berechnen.
Als Gammafunktion würde es ja \(\Gamma (\frac{3}{2})\) lauten, was das selbe ist wie \((\frac{1}{2})!\).
Laut Wikipedia und chat GPT, ist die Gammafunktion von \(\Gamma (\frac{3}{2}) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\).
Aber ich verstehe nicht wirklich wie genau man es weiß, weil im Internet habe ich auch keine Tabellen bezüglich darauf gefunden.
Kann mir jemand erklären wie genau man diese Werte der Gammafunktion berechnen kann?
Habe ich irgendwas nicht beachtet oder so?
Danke im voraus!
