Hallo.
Beachte bitte nicht die vielen Kommentare unten. Hatte am Anfang paar Tippfehler gemacht, ist aber alles korrigiert.
Zuerst einmal ist allgemein die Menge
{(x,y) : x^2 + y^2 ≤ r^2} mit r > 0 der Kreis mit Radius r vom Ursprung aus.
Beispiel:
Das ist die Menge {(x,y) : x^2 + y^2 ≤ 9}, also der Kreis mir Radius r = 3.
(Quelle: Geogebra)
Vielleicht wurde dir in der Vorlesung gesagt, das mann die Menge der komplexen Zahlen ℂ als den |R^2, also die Menge der reelen Paare (x,y), auffassen kann.
Der Grund ist, das eine Bijektion |R^2 <—> ℂ zwischen den Mengen existiert, d.h. zu jedem Paar (x,y) ∈ |R^2 gibt es eine eindeutige komplexe Zahl x+y*i ∈ ℂ.
D.h. wir definieren eine komplexe Zahl z nun als z := (x,y) = x + y*i, wobei x = Re(z) und y = Im(z). Wir dürfen also eine komplexe Zahl x+y*i als ein Paar (x,y) auffassen, wobei der Realteil die Werte auf der x-Achse und der Imaginärteil die Werte auf der y-Achse darstellt.
Zur Aufgabe:
Sei z := 3+4i = (3,4) die gegebene Zahl.
Dann ist Re(z) = 3, Im(z) = 4 und |z| = 5. (Bemerke hier |(x+y*i)| = sqrt(x^2 + y^2) für alle x,y in |R, wobei ,,sqrt‘‘ die Quadratwurzel ist)
Sei nun u = (x,y) = x+yi mit |u| = sqrt(x^2 + y^2) eine beliebige komplexe Zahl mit x,y in |R.
Die Teilmengen K, H ⊂ ℂ können dann mit der Definition ℂ := |R^2 als die Mengen
K = {u : |u| ≤ |z|} = {(x,y) : sqrt(x^2 + y^2) ≤ 5}
= {(x,y) : x^2 + y^2 ≤ 25}
(hier einfach die Ungleichung sqrt(x^2 + y^2) ≤ 5 auf beiden Seiten quadrieren)
und H = {u : Re(z) < Re(u)} = {(x,y) : x > 3}
aufgefasst werden.
Also ist K der Kreis zum Radius r = 5, den du analog zum Bild zeichnen kannst und H die Menge aller komplexen Zahlen mit Realteil grösser 3, d.h. die Ebene ab der 3 bei der x-Achse. Das kannst du jetzt ganz einfach einzeichnen :)
Die letzte Menge überlasse ich dir (das geht analog zur Menge H, nur betrachte die y-Achse jetzt).
