Hey,
direkte Schlagwörter gibt es nicht, aber es gibt ein paar Dinge, an denen man sich orientieren kann. Ansonsten hat das einfach auch mit viel Übung und Erfahrung zu tun. Dazu kann es auch helfen, sich mal Fachliteratur anzuschauen.
Vollständige Induktion: Die eignet sich immer dann, wenn es um Aussagen bezüglich natürlicher Zahlen geht oder um Eigenschaften, die rekursiv definiert sind, beispielsweise diverse Summenformeln oder ähnliches.
Direkter Beweis: Der funktioniert recht gut, wenn eine zu beweisende Implikation oder Äquivalenz vorliegt, die leicht zu beweisen ist, zum Beispiel der Beweis, dass eine Funktion bestimmte Eigenschaften hat, wie Injektivität, Stetigkeit, usw. Ein direkter Beweis ist auch immer dann sinnvoll, wenn du die Annahmen direkt im Beweis verwenden kannst, bspw. wenn du etwas über lineare Funktionen beweisen möchtest, dass du dann die Linearität direkt ausnutzen kannst.
Indirekter Beweis: Einen indirekten Beweis kann man immer dann gut führen, wenn der direkte Beweis nicht so einfach ist und die Negation der Aussagen besser zu beweisen ist. So lässt sich die Unendlichkeit der Primzahlen auf direktem Wege sicherlich nicht so leicht beweisen, wie die Annahme, es gebe nur endlich viele Primzahlen, zu wiederlegen. Auch die Irrationalität von \(\sqrt{2}\) lässt sich über die gegenteilige Annahme, sie wäre rational, besser beweisen als auf direktem Wege.
Dass in den genannten Beispielen zum direkten und indirekten Beweis eine vollständige Induktion ausgeschlossen ist, erkennst du hoffentlich. Es kann helfen, wenn du noch einmal die verschiedenen Beweise in deiner Vorlesung oder Übung durchgehst und auf Gemeinsamkeiten und Unterschiede untersuchst.
In der Regel sind Beweise in Klausuren aber nicht allzu schwierig, das heißt, man kann recht gut erkennt, welche Methode gut funktioniert. Die Problematik liegt bei den meisten Studenten eher darin, den Beweis auch sauber zu führen und zu notieren, weshalb es da dann auch gerne Punktabzüge gibt.
