Bestimmen Sie einen möglichen Funktionsterm einer Parabel.

Question

Aufgabe: Für eine quadratische Funktion f gilt f(2) = 0  und f(0) = 4 . Welche Eigenschaften hat das Schaubild der Funktion f ? Bestimmen Sie einen möglichen Funktionsterm.

Ansatz: Ich habe versucht, den Funktionsterm mithilfe des Additionsverfahrens zu ermitteln. Dazu habe ich die Punkte A(2|0)  und B(0|4)  in die allgemeine Form f(x) = ax^2 + bx + c eingesetzt.

Beim Einsetzen des Punktes B(0|4)  habe ich c = 4  ermittelt. Durch das Einsetzen von Punkt A(2|0)  ergab sich die Gleichung 4a + 2b + 4 = 0 .

Jetzt bin ich mir unsicher, wie ich weiter vorgehen soll, da mir keine weitere Gleichung zur Verfügung steht, die ich für das Additionsverfahren nutzen könnte. Wie kann ich die Funktion dennoch bestimmen?

Comments

Welche Eigenschaften hat das Schaubild der Funktion f

lässt sich entweder als Trivialität auffassen und durch Angabe der Achsenabschnitte beantworten oder du versuchst nachzuweisen, dass alle Scheitelpunkte auf dem Graphen der Funktion g mit g(x) = (2-x)^2 / (1-x)  liegen.

Answer 1

Das Gleichungssystem ist unterbestimmt. Es gibt beliebig viele Parabeln, die durch diese beiden Punkte gehen. Darum verlangt man nur "einen möglichen Funktionsterm".

Wähle irgendein a, setze b = -2a - 2 und c = 4.

Comments

Ich darf also einen der Parameter (z. B. a ) frei wählen und den Rest des Funktionsterms daraus ableiten?

Zum Beispiel, wenn ich a = 1  wähle, ergibt sich:

f(x) = x^2 - 4x + 4

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Probiere es aus, wähle ein paar Werte für a, lasse die Funktion plotten und schaue, ob der Graph durch die beiden Punkte geht.

Wenn a = 0 geht es zwar auch durch die beiden Punkte, aber die Parabel wird zur Geraden.

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Vielen Dank!

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Darum verlangt man nur "einen möglichen Funktionsterm".

Jede quadratische Funktion kann durch unendlich viele Funktionterme dargestellt werden.

Der Hinweis, dass es mehrere Parabeln mit den ganannten Eigenschaften geben könnte, vesteckt sich in der Überschrift, wo es heißt: "Funktionsterm einer Parabel."

Answer 2

Zunächst mal ist deine Gleichung

4a + 2b + 4 = 0

völlig richtig. Du könntest diese Gleichung nach b auflösen.

b = - 2·a - 2

und das jetzt für b in die allgemeine Funktion einsetzen. Dann bekommst du eine Funktionenschar, die alle Graphen beschreibt, die die genannten Bedingungen erfüllen

fa(x) = a·x^2 - (2·a + 2)·x + 4 mit a ≠ 0

Hier darf man irgendeinen Wert für a ungleich null einsetzen und erhält dann eine Funktion.

Du könntest so eine Funktionenschar auch allgemein auf Scheitelpunkte untersuchen oder eine Ortskurve nennen, auf der alle Scheitelpunkte liegen. Das macht z.B. der Mathekurs auf dem erhöhten Niveau in der Oberstufe.

Da du z.B. die Formeln für den Scheitelpunkt kennst, kannst du jetzt auch allgemein den Scheitelpunkt in Abhängigkeit von a angeben.

S(1 + 1/a | -a + 2 - 1/a)

Hier siehst du ein paar mögliche Funktionen der Schar.

~plot~ -3·x^2-(2·(-3)+2)·x+4;-2·x^2-(2·(-2)+2)·x+4;-1·x^2-(2·(-1)+2)·x+4;1·x^2-(2·1+2)·x+4;2·x^2-(2·2+2)·x+4;3·x^2-(2·3+2)·x+4;[[-8|8|-6|6]] ~plot~

Comments

Sehr schön erklärt :) Vielen Dank!