Aloha :)
Nach Lagrange ist eine notwendige Bedingung für ein Extremum einer Funktion \(f(\vec x)\) unter einer konstanten Nebenbedingung \(g(\vec x)=\text{const}\):$$\operatorname{grad}f(\vec x)=\lambda\cdot\operatorname{grad}g(\vec x)$$
Wenn nun der Lagrange-Multiplikator \(\lambda\) null ist, heißt das:$$\operatorname{grad}f(\vec x)=\vec 0$$Das ist aber eine notwendige Bedingung für Extrema der Funktion \(f(\vec x)\) ohne jede Nebenbedingung.
Das heißt, wenn ein Lagrange-Multiplikator null ist, hat die zugehörige Nebenbedingung keinen Einfluss auf die Lage der Extrema einer Funktion.
Deine eigentliche Frage macht keinen Sinn. Der Wert von \(\lambda\) hat keinen Einfluss darauf, ob die beiden Vektoren \(\operatorname{grad} f\) und \(\operatorname{grad}g\) linear unabhängig sind oder nicht, denn da kommt \(\lambda\) ja überhaupt nicht vor. Wenn jedoch \(\lambda=0\) gilt, ist das Produkt \((\lambda\cdot\operatorname{grad}g)\) der Nullvektor und es gilt:$$0\cdot\operatorname{grad}f(\vec x)+1\cdot\underbrace{(\lambda\cdot\operatorname{grad}g(\vec x))}_{=\vec 0}=\vec 0$$Es gibt also eine Linearkombination von \(\operatorname{grad}f(\vec x)\) und \(\lambda\cdot\operatorname{grad}g(\vec x)\), die den Nullvektor ergibt, d.h. beide Vektoren sind linear abhängig.
