λ=0 => linear unabhängig (Lagrangemultiplikator))

Question

Hallo zusammen, ich habe mich mit dem Thema Lagrange auseinandergesetzt und Stelle mir nun eine Frage, bei der ich mir unsicher bin:

Wenn nun λ=0  ist, sind die Vektoren ∇f(x*), ∇g_i(x*) f.a. i=1,..,n linear unabhängig oder linear abhängig? Wenn x* die lokale Lösung des Optimierungsproblems f(x) mit Nebenbedingungen g_i(x)=0 ist.

Das ist kein Beweis, den ich zeigen muss, die Frage hat sich mir nur beim durchgehen der Definition gestellt. Ich habe Rum probiert, nur komme ich nicht drauf.

Ich würde mich freuen, wenn mir hier jemand helfen könnte. Vielen Dank im Voraus!

Comments

Wenn nun λ=0  ist, sind die Vektoren ∇f(x*), ∇g_i(x*) f.a. i=1,..,n linear unabhängig oder linear abhängig?

Wie hängen \(\lambda\), \(f\) und die \(g_i\) zusammen?

In der Physik gibt es Formelzeichen für bestimmte Größen. Jeder Physiker weiß, was mit

        F = m·a

gemeint ist: Kraft ist Masse mal Beschleunigung. Für einen Mathematiker sieht die Gleichung aber genau so aus wie

        p = m·v,

obwohl ein Physiker sofort sehen würde, das es hier um den Zusammenhang zwischen Impuls, Masse und Geschwindigkeit geht.

In der Mathematik gibt es das Konzept nicht, die Bedeutung von Variablen anhand der dafür verwendeten Symbole festzulegen. Deshalb musst du definieren, was \(\lambda\), \(f\) und die \(g_i\) sind.

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Wenn x* die lokale Lösung des Optimierungsproblems f(x) mit Nebenbedingungen gi(x)=0 ist.

Steht alles da. Geht offensichtlich um die Optimierung einer Funktion \(f\) unter mehreren Nebenbedingungen \(g_i\) mit der Lagrange-Methode, weshalb der Lagrange-Parameter \(\lambda\) vorkommt.

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Genau, Apfelmännchen hat Recht. Danke!

Answer 1

Aloha :)

Nach Lagrange ist eine notwendige Bedingung für ein Extremum einer Funktion \(f(\vec x)\) unter einer konstanten Nebenbedingung \(g(\vec x)=\text{const}\):$$\operatorname{grad}f(\vec x)=\lambda\cdot\operatorname{grad}g(\vec x)$$

Wenn nun der Lagrange-Multiplikator \(\lambda\) null ist, heißt das:$$\operatorname{grad}f(\vec x)=\vec 0$$Das ist aber eine notwendige Bedingung für Extrema der Funktion \(f(\vec x)\) ohne jede Nebenbedingung.

Das heißt, wenn ein Lagrange-Multiplikator null ist, hat die zugehörige Nebenbedingung keinen Einfluss auf die Lage der Extrema einer Funktion.

Deine eigentliche Frage macht keinen Sinn. Der Wert von \(\lambda\) hat keinen Einfluss darauf, ob die beiden Vektoren \(\operatorname{grad} f\) und \(\operatorname{grad}g\) linear unabhängig sind oder nicht, denn da kommt \(\lambda\) ja überhaupt nicht vor. Wenn jedoch \(\lambda=0\) gilt, ist das Produkt \((\lambda\cdot\operatorname{grad}g)\) der Nullvektor und es gilt:$$0\cdot\operatorname{grad}f(\vec x)+1\cdot\underbrace{(\lambda\cdot\operatorname{grad}g(\vec x))}_{=\vec 0}=\vec 0$$Es gibt also eine Linearkombination von \(\operatorname{grad}f(\vec x)\) und \(\lambda\cdot\operatorname{grad}g(\vec x)\), die den Nullvektor ergibt, d.h. beide Vektoren sind linear abhängig.