Wo liegt der Fehler im Beweis?

Question

Aufgabe:Beweisen Sie (n über k) + ( n über (k+1)) = ( (n+1) über (k+1)) .

Problem/Ansatz:

(n über k) habe ich mit n! * / (n-k) * k! ersetzt. und das selbe auch mit ( n über (k+1) nur das k = k+1 ist. Dann habe ich die Brüche addiert indem ich den Nenner auf k! * (n-k)! * (k+1) berechnet habe.  Leider komme ich ab da nicht mehr weiter.

mein Bruch sieht so aus bisher :  ( n! * (k+1 ) + n!  * (n-k) ) / ( k! * (n-k)! * (k+1))

wo liegt der Fehler ?

Vielen Dank im Voraus

Answer 1

Der Bruch ist richtig. Nun klammere im Zähler \(n!\) aus und alles ergibt sich wie es sollte.

Answer 2

Du musst den ersten Bruch mit (k+1) und den zweiten Bruch mit (n-k) erweitern.

Der zweite Binomialkoeffizient ist nämlich \(\frac{n!}{(k+1)!\cdot (n-k-1)!} \)

Answer 3

Aloha :)

Du hast keinen Fehler... Du hast nur noch nicht zu Ende gerechnet.

$$\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}+\frac{n!}{(k+1)!\cdot(n-(k+1))!}$$Jetzt bringst du die beiden Brüche auf den Hauptnenner:$$\qquad=\frac{n!\cdot\red{(k+1)}}{\underbrace{k!\cdot\red{(k+1)}}_{=(k+1)!}\cdot(n-k)!}+\frac{n!\cdot\green{(n-k)}}{(k+1)!\cdot\underbrace{(n-(k+1))!\cdot\green{(n-k)}}_{=(n-k)!}}$$und fasst die beiden Brüche zusammen:$$\qquad=\frac{n!\cdot\red k+n!\cdot\red1+n!\cdot\green n-n!\cdot\green k}{(k+1)!\cdot(n-k)!}=\frac{n!\cdot(\green n+\red 1)}{(k+1)!\cdot(n-k)!}=\frac{(n+1)!}{(k+1)!\cdot(n-k)!}$$Schließlich addierst du noch eine "nahrhafte Null" und bist fertig:$$\qquad=\frac{(n+1)!}{(k+1)!\cdot\underbrace{((n\pink{+1})-(k\pink{+1}))!}_{=(n-k)!}}=\binom{n+1}{k+1}$$