Wo liegt der Fehler im folgenden "Induktionsbeweis" der Aussage
\(\sum \limits_{k=1}^{n} k=\frac{n(n-1)}{2}+1\qquad \forall n \in \mathbb{N} \setminus\{0\}\)
Induktionsanfang (\(n=1\)):
\(\sum \limits_{k=1}^{1} k=1=\frac{1 \cdot 0}{2}+1 \checkmark \)
Induktionsvoraussetzung:
\(\sum \limits_{k=1}^{n} k=\frac{n(n-1)}{2}+1\) gelte.
Induktionsschritt:
\(\begin{aligned} &\sum \limits_{k=1}^{n+1} k \\=&2 \sum \limits_{k=1}^{n+1} k-\sum \limits_{k=1}^{n+1} k\\=&2\left(\sum \limits_{k=1}^{n} k+n+1\right)-\left(\sum \limits_{k=1}^{n-1} k+n+(n+1)\right)\\=& 2 \sum \limits_{k=1}^{n} k-\sum \limits_{k=1}^{n-1} k+1\\=& 2\left(\frac{n(n-1)}{2}+1\right)-\left(\frac{(n-1)(n-2)}{2}+1\right)+1\\=&\frac{(n-1)(2 n-n+2)+4-2}{2}+1\\=&\frac{(n-1)(n+2)+2}{2}+1\\=&\frac{n^{2}+n}{2}+1\\=&\frac{(n+1) n}{2}+1 \end{aligned}\)
Es liegt eine vollständige Induktion vor, jedoch ist die Induktionsannahme falsch. Trotzdem geht der Beweis scheinbar auf - wo liegt der Fehler?
Problem/Ansatz:
Ich nehme an, dass die Umformungen der Summenzeichen so nicht erlaubt sind, allerdings sehe ich nicht, an welcher Stelle und warum.
