Konplementeigenschaft einzelner Mengen (…..)

Question

Hi,

etwas peinliche Frage aber gilt

{2} \ {1} = {2} ?

Answer 1

Ja, wenn \(B\cap A=\emptyset\), ist \(A\setminus B=A\).

Comments

{2} \ {1} = {2}

Macht das Sinn, wenn {1} in {2} gar nicht vorkommt?

Setzt die Gleichung nicht voraus, dass {1} in {2} enthalten sein muss?

Man kann aus {2} nichts herausnehmen, was nicht darin enthalten ist? Irgendwie merkwürdig. Oder soll man es sehen wie z.B. Was ist ein Kasten Bier ohne ein Flasche Limonade? Es bleibt beim Kasten Bier.

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Du kannst aus der Menge der durch 3 teilbaren Zahlen {3, 6, 9, 12, ...} alle geraden Zahlen herausnehmen.

{3, 6, 9, 12, ...} \ {2, 4, 6, 8, ...} = {3, 9, 15, 21, ...}

Dabei ist es unerheblich, dass nicht alle geraden Zahlen in der Menge der durch 3 teilbaren Zahlen enthalten sind.

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Wenn die Menge aber begrenzt ist?

Ich kann aus {3,6,9} doch nicht {2} rausnehmen.

Es ist zumindest kontraintuitiv, oder?

Ist mein praktisches Beispiel soweit richtig?

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In einer Klasse sind z.B. Mädchen und auch Brillenträger*innen.

Jetzt kannst du formal aus der Menge der Mädchen die Menge der Brillenträger*innen abziehen, auch wenn gar kein Mädchen eine Brille trägt.

Du kannst ja auch von 10 Null (Nichts) abziehen. Formal sieht das dann so aus

10 - 0 = 10

Dein Beispiel ist richtig. Wenn du aus einer Menge an Bierflaschen alle Limonadenflaschen wegnimmst bleiben alle Bierflaschen drin.

Ein Beispiel. Unser Chef lässt sich in unseren Betrieb für die Angestellten und Kunden immer Wasserflaschen liefern. In die Kästen verirrt sich aber manchmal auch eine Artfremde Flasche.

Wenn die Wasserkästen wieder abgeholt werden, muss jemand alle artfremden Flaschen entfernen. Und was passiert jetzt, wenn tatsächlich keine artfremde Flasche vorhanden war? Na dann bleiben halt alle Wasserflaschen da wo sie waren.

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Die Def. des Operators \(\setminus\) kann man an unzähligen Stellen im Internet finden, u.a. auch unten in der Antwort von apfelmännchen. Damit sollte alles klar sein.

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In der Grundschule habe ich mir Mengen immer wie Beutel vorgestellt, in denen Dinge drin waren.

Und jetzt hast du eine Menge in der 4 Elemente drin sind und eine Menge in der 3 Elemente drin sind.

Das merkwürdige an Mengen ist jetzt aber, wenn wir die Elemente beider Beutel in einen gemeinsamen Beutel füllen kann es passieren, dass wir am Ende nur noch 6 statt 7 Elemente in dem gemeinsamen Beutel haben.

Merke:

Wenn wir die Vereinigung zweier Mengen bilden, werden nur die Elemente der zweiten Menge der ersten hinzugefügt, die vorher noch nicht enthalten waren.

Wenn wir die Differenz zweier Mengen bilden, werden nur die Elemente der zweiten Menge von der ersten entfernt, die vorher in dieser enthalten waren.

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Danke, das hat mich einfach bischen verwirrt.

Answer 2

Anwendung der formalen Definition:

\(B\setminus A=\{x\in B\mid x \notin A\}\)

In deinem Fall sind das dann alle \(x\), die in \(B\) enthalten sind, aber nicht in \(A\). Das trifft natürlich auf \(x=2\) zu.

Die Einschränkung \(A\subseteq B\) ist nicht erforderlich, es gibt aber Definitionen, wo das zusätzlich gegeben ist. Das ist aber unproblematisch, denn wegen \(A\cap B\subseteq B\) kann man \(B\setminus A=B\setminus (A\cap B)\) schreiben. In diesem Fall ist \(A\cap B=\emptyset\) und es gilt \(B\setminus \emptyset = B\).

Comments

Dankeschön. Hat mich einfach bischen verwirrt, aber ja wenn man strikt den Mengendefinitionen nachgeht, so ist es klar.