Mathematik entdecken Mengenlehre Studium

Question

Aufgabe:

1)

Es seien A und B Mengen. Die symmetrische Differenz von A und B ist definiert als A ∆ B := (A ∪ B) \ (A ∩ B).

Man zeige, dass
A ∆ B = (A \ B) ∪ (B \ A).

Malen Sie zuerst Venn Diagramme der beiden Situationen. Dann beweisen Sie das formal.

2)

Man zeige, dass die Gleichheit A ∪ (B \ C) = (A ∪ B) \ (A ∪ C) nicht für beliebige Mengen A, B, C gilt.

Welche der Inklusionen “⊆” oder “⊇” gilt für alle Mengen A, B, C?

Problem/Ansatz:

Ich habe wirklich keine Ahnung wie man ein Venn-Diagramm erstellt oder generell wie man die Aufgaben löst. Kann mir da jemand helfen bitte?

Comments

Zu Venn Diagramm gibts doch wikipedia und andere Quellen?

was daran ist unklar?

lul

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Hey danke für deinen hilfreichen Kommentar! Aber ich hab hier ja nicht umsonst nach Hilfe gefragt und wenn du da nicht helfen willst einfach gar nicht antworten oder? Dann verschwendest du weder deine noch meine Zeit.

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1) Das Venn-Diagramm:

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Du hast anscheinend lul's Rückfrage falsch verstanden. Es geht darum, dass wir gezielt helfen wollen (dann kommt für Dich die Hilfe auch schneller und passender). Dazu wäre es gut zu wissen, was genau Du nicht verstanden hast. Wenn Du z.B. die Idee der Venn-Diagramme verstanden hast, braucht die ja keiner mehr zu erklären.

Answer 1

Die Menge A ist dargestellt mit dem blauen Kreis. Rot ist die Darstellung der Menge B

Die Schnittmenge ist die blau-rote Linse im Innern
Die symmetrische Differenz von A und B ist definiert als A ∆ B := (A ∪ B) \ (A ∩ B).
(A ∪ B) bedeutet übersetzt: Die Menge A ist vereinigt mit der Menge B
(A ∩ B) ist dargestellt durch die  blau-rote Linse und bedeutet Schnittmenge von A und B
Das Zeichen \ bedeutet ohne.

Menge A sollen nun z. B blaue Perlen beinhalten , wobei in B rote Perlen sind.

Da es nun keine rot-blauen Perlen gibt bleibt die Linse leer. Die Schnittmenge ist hier eine leere Menge.

Comments

Omg voll verständlich! Dankeschön. Also ist die dargestellte Abbildung das Produkt von dem Ausdruck: A ∆ B = (A \ B) ∪ (B \ A)? Bedeutet das einfach sie sind mit einander vereinigt aber schneiden sich nicht oder hab ich’s doch falsch verstanden?

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Da es nun keine rot-blauen Perlen gibt bleibt die Linse leer. Die Schnittmenge ist hier eine leere Menge.

Das passt dann aber sehr schlecht zu deinem Venn-Diagramm. Denn, wenn der Schnitt leer ist, überschneiden sich die Kreise für gewöhnlich nicht. Dein Beispiel ist also unpassend gewählt.

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wenn der Schnitt leer ist, überschneiden sich die Kreise für gewöhnlich nicht

Verwirrender geht es - in Sachen Venn-Diagramm - wohl kaum noch!

Die Mengen A und B sind klar als Teilmengen der sich schneidenden Kreise markiert,

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Stimmt. Der Einwand ist berechtigt. Es handelt sich sonst um ein sogenanntes Euler-Diagramm.

Answer 2

A ∪ B

A ∩ B

(A ∪ B) \ (A ∩ B)

Kannst du das so nachvollziehen?

Comments

A \ B

B \ A

(A \ B) ∪ (B \ A)