Stochastik, Wahrscheinlichkeiten und Kombinatorik

Question

Aufgabe:

Hallo, die Aufgabe ist es herauszufinden wie oft welche Ergebnisse kommen:
Man hat 3 töpfe im ersten topf ist ein ball mit einem punkt im zweiten topf ein ball mit einem punkt und einem ball mit 0 punkten im 3ten topf sind 2 bälle mit 0 punkten und ein ball mit einem punkt.

Beispiel eine runde:

Ich ziehe aus jedem topf einen ball, im ersten topf war ein ball mit einem punkt in den andreen beiden je 0 punkte.

Zweite runde in den ersten beiden topfen war je ein punkt im 3ten topf kein punkt.

Ich will wissen wenn ich 100 mal ziehe wie sich die treffer verteile da ja auch im top 1 1 punkt und in topf zwei 0 punkte und in topf 3, 1 punkt sein kann was in der summe 2 punkte gibt.

Ich versuche herauszufinden wie sich das "trefferbild" verteilt also z.b.

100% 1, Punkt 50% 2,punkte, 25% 3 punkte

Gibt es einen mathematischen weg herauszufinden wie sich das ganze in größeren beispiel z.b.mit 7 töpfen verhällt.

Comments

die Aufgabe ist es herauszufinden wie oft welche Ergebnisse kommen:

Definiere die Ereignisse genauer!

Ich versuche herauszufinden wie sich das "trefferbild" verteilt also z.b.
100% 1, Punkt 50% 2,punkte, 25% 3 punkte

Was willst du damit sagen?

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Naja, ich soll angeben zu wieviel prozent oder aber wie oft die fälle eintreten das ich 1, 2 oder 3 punkte erziele bei 100 ziehungen.

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t = Punkt, n= kein Punkt

1 Punkt bei 3 Zügen: tnn

2 Punkte: ttn, tnt

3 Punkte: ttt

P(tnn) = 1*1/2*2/3 = 1/6

P(ttn) = 1*1/2*2/3

P(tnt) =1*1/2*1/3

P(ttt) = 1*1/2*1/3

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P(tnn) = 1*1/2*2/3 = 1/6

Nö.

Answer 1

Das, was du suchst, nennt man Wahrscheinlichkeitsverteilung. Du suchst also die Wahrscheinlichkeiten (oder Anteile), mit der man eine bestimmte Punktzahl erzielt.

Überlege dir also zunächst einmal, welche Punktzahlen alle möglich sind: in deinem Fall von 1 Punkt bis 3 Punkte. Das lässt sich dann auch für mehrere Töpfe, auch mit unterschiedlichen Punktzahlen, verallgemeinern.

Dann schaust du, mit welchen Möglichkeiten man diese Punkte erzielen kann

Für 1 Punkt: (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)

Für 2 Punkte: (1, 1, 0), (1, 0, 1)

Für 3 Punkte: (1, 1, 1)

Jetzt berechnest du für jede Punktzahl die Wahrscheinlichkeit, dass die Kombination auftritt und rechnest diese dann zusammen. Da anscheinend aus jedem Topf ein Ball gezogen wird, sind die einzelnen Ziehungen voneinander unabhängig, so dass man deren Einzelwahrscheinlichkeiten für einen bestimmten Ball multiplizieren kann.

Für 1 Punkt hast du dann zum Beispiel für die Kombination (1, 0, 0) die Wahrscheinlichkeit \(1\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}=\frac{1}{3}\).

Ist das Vorgehen soweit klar? Wenn nicht, frage gerne noch einmal gezielter nach.

Am Ende müssen alle Wahrscheinlichkeiten in deiner Verteilung 100 % oder 1 ergeben. Das ist dann noch mal eine gute Möglichkeit zur Überprüfung.

Comments

Meine frage ist, wie kriege ich das alles zusammen, ich schaffe es gerade mal die einzelnen töpfe zu berechen also Günstgste / möglichkeiten daraus ergeben sich ja prozente aber wie potenziere ich das hoch?

Es ist ja so das fall 1 punkt zu 100% eintreffenb wird falls 2 ist zu 50% möglich aber die tatsach da 1 ja immer passiert erhöht ja die wahrscheinlichkeit darauf das 2 punkte kommt.

Ich weiss nicht wirklich wie ich es erklären soll, ich muss das hier mit bis zu 9 gefäßen berechenen in denen immer 1 punkt und dann nicht punkte liegen die vorherige reihe quasi fort geführt.

Leider versteh ich dir formeln absolut garnicht und weiss nicht wie ich sie in einer exel tabelle anwenden kann um dars dann das erbniss zu ziehen das 1 punkt zu 100% kommt 2 punkte zu z.b. 33% kommt und 3 punkte zu z.b. 13% kommt

Ich hatte das problem schon mal aber ich weiss nicht mehr wie ich es gelöst hatte ich hatte eine kombinatorische zahl ermittelt die das quasi errechent hatte.

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Ich weiss nicht wirklich wie ich es erklären soll, ich muss das hier mit bis zu 9 gefäßen berechenen in denen immer 1 punkt und dann nicht punkte liegen die vorherige reihe quasi fort geführt.

n= Anzahl der Bälle pro Topf

p = Anzahl mit Punkt= 1

P(p) = 1/n = WKT, dass aus den Bällen einer mit Punkt gezogen wird.

P(nicht-Punkt) = 1/(n-1)

Bei 9 Töpfen musst du alle WKTen von 1 bis 9 Punkten addieren.

z.B. 5 Punkte: ttttttnnnn, es gibt (9über5) = 126 Reihenfolgen d.h. Möglichkeiten 5t und 4 n anzuordnen.

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Was genau ist denn an meiner Vorgehensweise unklar?

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Ich verstehe es nicht, ich hatte beim letzten mal einfache ine zahl anhand von der kombinatorik ermittelt die ich mal der % wahrscheinlickeit nehmen konnte und hatte das richtige ergebnis, irgendwie, e ist zu komplizirt das alles in eine zeile zu schrieben

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Die Frage war, WAS du nicht verstehst.

Aber die Zahl, die du vermutlich meinst, ist der sogenannte Binomialkoeffizient \(\binom{n}{k}\), der angibt, wie viele Möglichkeiten es gibt, \(k\) aus \(n\) auszuwählen. Das würde dir dann nämlich die Anzahl der Möglichkeiten geben, wie du zum Beispiel 5 Punkte erzielen kannst.