Das ist alles richtig. Den Beweis kann man wörtlich wie im Reellen führen.
Man sollte es aber geordneter aufschreiben, nämlich:
Beh. und Beweis deutlich trennen. Also: "Bew.:...".
Dann zuerst "sei \(\varepsilon>0\)". Dann wie oben "wir wählen \(\delta:=\varepsilon\)." Dann "Dann gilt für \(|z-z_0|<\delta:\; |f(z)-f(z_0)|...\le |z-z_0|<\delta =\varepsilon\)", fertig.