Kurvendiskussion (Nullstellen, Stetigkeit und Differenzierbarkeit, etc.)

Question

Ich soll für die Funktion x-x^3 eine Kurvendiskussion (maximaler Definitionsbereich,
Nullstellen und Pole, Stetigkeit und Differenzierbarkeit, Monotonie, asymptotisches Verhalten,
Beschränktheit, Rand- und innere Extrema, Flach- und Wendestellen, Krümmung)
durchführen und die wesentlichen Sätze, die für die Kurvendiskussion zur Verfügung
stehen erläutern! Leider hab ich bis auf so grundsätzliche Sachen wie z.B.:

Extrema: f'(x)=0

-3x^2-1=0

x^2=1/3

x=+-√1/3

Wendestellen: f''(x)=0

-6x=0

x=0

keine Ahnung.

Über eine ausführliche Erklärung für diese Aufgabe würde ich mich wirklich sehr freuen!  

Answer 1

Funktion und Ableitungen

 

f(x) = x - x^3

f'(x) = 1 - 3·x^2

f''(x) = - 6·x

f'''(x) = - 6

 

Maximaler Definitionsbereich

In Polynomen gibt es keine Einschränkungen des Definitionsbereichs. D = R

 

Nullstellen f(x) = 0

x - x^3 = x·(1 - x^2) = 0

x = 0 oder x = -1 oder x = 1

 

Polynome sind an allen Stellen stetig und differenzierbar

 

Monoton steigend f'(x) > 0

1 - 3·x^2 > 0

- √3/3 < x < √3/3

 

Monoton fallend in den anderen Bereichen.

 

Polynome zeigen kein asymptotisches Verhalten

 

Polynome sind nicht beschränkt

 

Extremstellen f'(x) = 0

1 - 3·x^2 = 0

x = - √3/3 ∨ x = √3/3

 

f(- √3/3) = - 2/9·√3 --> Tiefpunkt

f(√3/3) = 2/9·√3 --> Hochpunkt

 

Wendepunkte f''(x) = 0

- 6·x = 0

x = 0

 

f(0) = 0 --> Wendepunkt

 

Linkskrümmung f''(x) > 0

- 6·x > 0

x < 0

Rechtskrümmung für die anderen Bereiche

Comments

Sind so sachen wie "Polynome sind nicht beschränkt" und "Polynome zeigen kein asymptotisches verhalten" solche wesentlichen sätze, die für die kurvendiskussion zur verfügung stehen??

x>0 ist somit die Rechtskrümmung? Und liege ich falsch oder gehört bei √3/3 eigentlich immer √1/3 ?

Und mit monoton fallend in anderen Bereichen ist dann gemeint -√1/3 > x> √1/3?

---

Weißt du was ein asymptotisches verhalten ist ? Weißt du was es bedeutet wenn eine Funktion beschränkt ist ?

Weißt du allgemein wie Polynome beliebigen gerades verlaufen?

Rechtskrümmung für x > 0 sollte richtig sein.

√3/3 kann man auch schreiben als √(1/3) oder 1/√3. Im zweiten Fall sollte aber geklammert werden.

---

Also die parabel y=x^2 hat bei 0 eine untere schranke, ist aber somit nicht gleich beschränkt. Ist es jetzt eine grundaussage, dass polynome nicht beschränkt sind? Wie ich mir die beschränktheit ausrechne, ist mir allerdings nicht richtig klar... bei sinus weiß man z.B. einfach, dass er bei 1, -1 beschränkt sein muss, aber keine ahnung wie man da drauf kommt, wenn man es nicht vor augen hat.

asymptotisches verhalten weiß ich nicht und eine generelle aussage darüber, wie polynome beliebigen grades verlaufen , kann ich auch nicht treffen. Meine ungefähre vorstellung wäre ein kurve um die x-Achse.

aso, sorry, hab übersehen, dass du keine klammern hattest! alles klar!

---

Was passiert wenn man bei Polynomen unendlich bzw. minus unendlich einsetzt ? Stichwort Grenzwertbetrachtung.

Was ist denn eine Asymptote ? Wie ist sie definiert ? Wenn du das nicht weißt schau in deinen Unterlagen oder Wikipedia nach.

---

Ah, ok.klar!

Eine Asymptote nähert sich im Undendlichen an eine andere Funktion bzw. Achse an.

---

Genau . Meist werden nur Geraden als Asymptoten betrachtet.
f(x) = x - x^3 hätte keine Gerade als Asymptote. Höchstens das Polynom y = - x^3 als Asymptote.