Bestimmen Sie eine rationale Funktion mit maximalen Definitionsbereich - Polstellen, Nullstellen etc.

Question

Aufgabe:

a) Bestimmen Sie die Polstellen, hebbaren Singularitäten, Nullstellen und das asymptotische Verhalten dieser Funktion:

\( f(x)=\frac{2 x^{3}-7 x^{2}+9}{x^{2}-1} \)

Skizzieren Sie den Funktionsgraphen.

b) Bestimmen Sie eine rationale Funktion \( f: \mathbb{D} \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) mit maximalen Definitionsbereich, die diese Bedingungen erfüllt:

i) Polstellen bei \( x=1 \) und \( x=3 \)

ii) Nullstellen bei \( x=0 \) und \( x=2 \) (weitere Nullstellen seien erlaubt)

iii) schräge Asymptote \( y=2 x+1 \)

Answer 1

in Linearfaktoren zerlegen

f(x) =  (x-3)*(2x-3)*(x+1)  /   ((x-1)*(x+1))

also hebbare Singul. bei x=-1
Nulstellen bei 3 und 3/2
und Polstelle bei x=1
und Asymptote y= 2x-7 durch Pol.division
f(x) = 2x-7 + 2/(x-1)

b) wegen i und iii Ansatz
f(x) = 2x+1 + (ax+b) / ((x-1)*(x-3) )

      = (2x^3 - 7x^2 + (a+2) *x + b+3 )   /    ((x-1)*(x-3) )
DamitNullstelle bei 0 ist schon mal b = -3
also Zähler 2x^3 - 7x^2 + (a+2) *x
soll Nullstelle bei 2 haben, also
2*2^3 - 7*2^2 + (a+2) *2 = 0
2a-8 = 0
also a=4.
Damit f(x) =  (2x^3 - 7x^2 + 6 *x ) /    ((x-1)*(x-3) )

Answer 2

Hier noch die Skizze