Aufgabe:
Seien \( n, m \) teilerfremde natürliche Zahlen. Zeigen Sie, dass die Gleichung \( n x+m y=a \) mit ganzen, nicht negativen Zahlen \( x, y \) für alle \( a> \) \( n m-n-m \) lösbar ist, für \( a=n m-n-m \) jedoch nicht.
Problem/Ansatz:
Ich bin mir sehr unsicher, ob meine Argumentation richtig ist und ob ich das anders hätte machen sollen. Wir hatten in der Vorlesung auch Restklassen und Äquivalenzrelationen. Ich wüsste aber nicht wie man das hier anwenden sollte.
nx + my = nm - n - m \\
nm = nx + my + n + m \\
nicht lösbar, weil nm müsste ein Vielfaches von nx + my + n + m sein, ist es aber nicht weil n,m teilerfremd sind \\
\( \begin{array}{l} IS: (n+1)x + (m+1)y = (n+1)(m+1) - (n+1) - (m+1) \\ nx + x + my + y = nm + n + m + 1 - n - 1 - m -1 \\ nx + my + x + y = nm - 1 \\ nx + my = nm - 1 - x - y \\ \begin{aligned} nm -n - m = nm - 1 - x - y \\ -n - m = -1 - x - y \end{aligned} \\ \end{array} \)
