Vereinfache soweit wie möglich Term mit Variablen im Nenner

Question

Aufgabe:

\(\displaystyle \frac{a}{a b-b^{2}}-\frac{b}{a^{2}+a b}-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a} \)

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand erklären wie ich am besten auf den hauptnenner kommey und das auf schnellstem und kürzesten wege lösen kann! ich habe schon im nenner herausgehoben soll ich dann einfach multiplizieren miteinander oder wie

Comments

Kann mir jemand erklären wie ich am besten auf den hauptnenner kommey und das auf schnellstem und kürzesten wege lösen kann!

Durch Faktorisieren, wo es möglich ist:

ab-b^2 = b(a-b)

a^2+ab = a(a+b)

HN= a*b*(a+b)(a-b) = ab(a^2-b^2)

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Der (vermutlich) kürzeste Weg wäre, zunächst die beiden letzten Brüche zusammenzufassen.

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Tolle Idee, dann ist man ruckzuck fertig. Muss man halt sehen und kurz durchrechnen. Eleganter geht es wohl nicht.

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Grundsätzlich kann es hilfreich sein nicht gleich alle Brüche auf einen Hauptnenner zu bringen sondern Gruppenweise die Brüche auf gemeinsame Hauptnenner zu bringen. Dann werden die Zähler nicht so unübersichtlich.

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Ich vermute mal, dass man auf die Version vom mathhilf im Nachhinein kommt, weil auffällt, dass nur der 1. Term übrigbleibt (wenn man döschwö gelesen hat). Ich will ihm/ihr aber nichts unterstellen. Geübte Leute sehen das machmal auf den ersten Blick, weil sie es blitzschnell durchrechnen können und das dazu notwendige Konzentrationsvermögen besitzen.

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Tatsächlich habe ich einfach mit den einfachsten Termen angefangen.

Answer 1

wenn ich mich so spät abends nicht vertippe:

\(\displaystyle \frac{a}{a b-b^{2}}-\frac{b}{a^{2}+a b}-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a} \)

\(\displaystyle = \frac{a}{b(a-b)}-\frac{b}{a(a+ b)}-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a} \)

\(\displaystyle = \frac{a^2 (a+b) -b^2(a-b)-ab(a-b)+b(a+b)(a-b) }{ab(a+b)(a-b)} \)

\(\displaystyle = \frac{a^3 +a^2b -ab^2+b^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+ab^2-b^3}{ab(a+b)(a-b)} \)

\(\displaystyle = \frac{a^3 +a^2b}{ab(a+b)(a-b)}=\frac{a(a^2+ab)}{(a^2+ab)(ab-b^2)} \)

\(\displaystyle = \frac{a}{ab-b^2} \)

Comments

Jetzt ist es richtig.

Wenn du es dem Fragesteller einfacher machen möchtest, solltest du zunächst aufs Ausmultiplizieren vom Nenner verzichten. Dann ist das Kürzen einfacher zu sehen.

Aber das kann der Fragesteller ja beim Nachrechnen beachten.

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Danke, ja hat sich überschnitten.

(dieser Kommentar bezog sich auf einen früheren Kommentar von Benutzer Mathecoach, den er dann gelöscht hat)

Answer 2

Alle Nenner multiplizieren und das als Hauptnenner nehmen geht zwar immer, ist aber oft zu aufwendig.

Der beste Hauptnenner ist das kgV der Nenner. Wenn Du im Nenner schon ausgeklammert hast, gut. Dann siehst Du auch, dass der 3. und 4. Bruch den Nenner des 2. als Hauptnenner haben. Das vereinfacht die Sache.

Answer 3

Grundsätzlich kann es hilfreich sein nicht gleich alle Brüche auf einen Hauptnenner zu bringen, sondern Gruppenweise die Brüche auf gemeinsame Hauptnenner zu bringen.

$$\frac{a}{ab-b^2} - \frac{b}{a^2+ab} - \frac{1}{a+b} + \frac{1}{a}$$

Man sieht, dass man die letzten drei Brüche sehr leicht auf einen gemeinsamen Nenner bringen kann, weil der 2. Bruch dann schon den Hauptnenner hat.

$$= \frac{a}{ab-b^2} - \frac{b}{a(a+b)} - \frac{a}{a(a+b)} + \frac{a+b}{a(a+b)}$$

Nun sieht man das sich die letzten 3 Brüche aufheben und damit der erste Bruch das Ergebnis ist.

$$= \frac{a}{ab-b^2}$$