Für welche Punkte z = a + ib der Gaußschen Zahlenebene gilt

Question

Aufgabe:

|z + 1| ⩽ 2|z − 1|

Problem/Ansatz:

Kann mir das jemand lösen?

Comments

gelöscht, da Fehler enthalten war

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Hast du nach dem zweiten <=> den Faktor 4 vergessen?

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Stimmt hast Recht, korrigiere es jetzt. Danke

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Warum löschst du eigentlich immer deine Antworten, erzeugst damit unnötige Kommentare, anstatt sie einfach zu bearbeiten ... ? Ich glaube, das ist nicht im Sinne des Erfinders.

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Ich musste hier eine komplett neue Lösung machen, die nichts mehr mit der davorigen Lösung zu tun hatte, da das davorige wegen der Anmerkung von Arsinoe4, am Ende zur komplett unerwünschten Lösung führte. Deshalb machte ich auch einen neuen Post, damit der FS nicht verwirrt ist. Logisch?

Übrigens: ,,Immer‘‘ tue ich das jetzt auch nicht. Das ist das dritte mal :)

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Logisch?

Nein, da man ja auch die komplette Antwort editieren kann. Und ich meine mich auch zu erinnern, dass du da schon einmal von offizieller Seite drauf hingewiesen wurdest. Aber gut, ist nicht meine Aufgabe. :)

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Nochmal: Es ist nicht dasselbe wie die davorigen Male, denn der Unterschied ist, dass es hier komplett erneuert werden musste, da es einfach komplett daneben war. Übrigens hatte ich meinen davorigen Post schon gelöscht, bevor ich einen neuen komplett fertig hatte.

Answer 1

Hallo,

Willkommen in der Mathelounge!

Kann mir das jemand lösen?

Ja - wäre aber schön, wenn man genau wüsste wo Dein Problem ist. Dass Du \(z=a+bi\) schreiben kannst und dann in die Ungleichung einsetzt, darauf solltest Du schon selber gekommen sein. Das wird dann zu$$\begin{aligned}|z + 1|&\le 2|z − 1|&&|\,z=a+bi\\ |a+1+bi|&\le 2|a-1+bi| \\ \implies 0 &\le 3a^2 - 10a +3 +3b^2\end{aligned}$$Teile das noch durch \(3\), damit vor \(a^2\) und \(b^2\) keine Faktoren mehr stehen, und dann versuche es mit der quadratischen Ergänzung.

In der Gaußschen Zahlenebene sähe es dann so aus:

Kommst Du allein zurecht? Frage bitte nach, falls etwas unklar ist.

Gruß Werner

Comments

Danke für die Antwort, ich bin eigenständig bis zu 0 <= 3a^2-10a+3+3b^2 gekommen. Und hatte dann versucht die Nullstellen zu berechnen, wusste nur nicht wie die Ergebnisse zu deuten sind bzw. ob es überhaupt richtig ist. Warum ist die Quadratische Ergänzung hier sinnvoller?

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Warum ist die Quadratische Ergänzung hier sinnvoller?

Weiil man eine Gleichung der Form$$a^2+ c_2a + c_3b^2 + c_4b + c_5 = 0$$mit den Variablen \(a\) und \(b\) und Konstanten \(c_k\) und \(c_3 \ne 0\) immer in die Form$$\left(a + \frac{c_2}{2}\right)^{2} + c_3\left(b + \frac{c_4}{2c_3}\right)^{2} + d = 0$$bringen kann. Ist dann \(c_3\gt 0\) und \(d \le 0\) handelt es sich um eine Elipse. Ist darüber hinaus \(c_3=1\), dann ist es ein Kreis mit dem Mittelpunkt bei \(-\left(c_2, c_4\right)/2\) und dem Radius \(\sqrt{-d}\).

Und genau das ist hier der Fall. Man kann also für die Lösungsmenge schreiben$$\mathbb{L} = \left\{z \in \mathbb{C}: \space \left|z - \frac{5}{3}\right| \ge \frac{4}{3}\right\}$$Bzw. in Worten: Die Menge \(\mathbb{L}\) sind alle Punkte der komplexen Ebene, die nicht(!) innerhalb des Kreises um \((5/3, \, 0)\) mit Radius \(4/3\) liegen.

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... mal ne frage zur Notation unser Prof. möchte auch das dass Äquivalenzzeichen mitschreiben. Warum genau wird das gemacht?

hier geht es wohl um das Quadrieren. Im Allgemeinen ist das Quadrieren von zwei Seiten einer (Un)Gleichung keine Äquivalenzumformung. Einfaches Beispiel ist die falsche Gleichung \(-1 = 1\), die nach dem Quadrieren 'richtig' wird.

Im konkreten Fall von $$|z+1| \le 2|z-1|$$steht auf beiden Seiten des \(\le\) ein positiver Ausdruck oder \(0\). Das garantiert die Betragsfunktion. Also ist das Quadrieren der beiden Seiten eine Äquivalenzumformung, Ist das Quadrat eines Betrags \(b_1\) kleiner oder gleich als das Quadrat von \(b_2\), so gilt das auch für die Beträge selber, also \(b_1 \le b_2\). Weil die Beträge sicher \(b_1,b_2 \ge 0\) sind.

Man kann also schreiben$$\begin{aligned}|z+1| &\le 2|z-1|\\ \Leftrightarrow |z+1|^2 &\le 4|z-1|^2\end{aligned}$$Das wäre anders, wenn die Ausgangsungleichung z.B.$$|z+1|-3 \le 2|z-1|$$heißen würde. Dann müsste der Fall \(|z+1|-3 \lt 0\) gesondert behandelt werden.

Answer 2

Du suchst die Elemente der Menge
M := {z ∈ C : |z+1| ≤ 2 |z-1|} ⊆ C.

Ich habe hier mal für Dich eine allgemeine Lösung. Frage gerne bei Unklarheiten nach! :)

Vorgehensweise:
Sei z = a+bi ∈ C eine beliebige komplexe Zahl mit (a, b) = (Re(z), Im(z)) ∈ |R^2.

Dann ist |z+1|^2 = |(a+1)+bi|^2 = (a+1)^2 + b^2
und analog |z-1|^2 = (a-1)^2 + b^2.

Damit gilt:

|z+1| ≤ 2 |z-1|
<=> |z+1|^2 ≤ 4 |z-1|^2
<=> (a+1)^2 + b^2 ≤  4(a-1)^2 + 4b^2
<=> (a+1)^2 ≤ 4(a-1)^2 + 3b^2
<=> a^2 + 2a+1 ≤ 4a^2 -8a + 4 + 3b^2
<=> 0 ≤ 3a^2 + 3b^2 - 10a + 3

(Quadratische Ergänzung für a)
<=> (a - 5/3)^2 + b^2  ≥ 16/9

D.h. M = {z = a+bi : (a - 5/3)^2 + b^2  ≥ 16/9}.

Wir identifizieren M jetzt mal als die Menge

{(a,b) ∈ |R^2 : (a - 5/3)^2 + b^2  ≥ 16/9} ≅ M als Teilmenge des |R^2.

Hierbei bemerke, dass die Menge aller Punkte (x,y) ∈ |R^2 mit (x-s)^2 + (y-t)^2 ≤ r^2 ein Kreis um den Punkt (s,t) ∈ |R^2 mit Radius r > 0 ist. Das heisst umgekehrt ist die Menge aller Punkte (x,y) ∈ |R^2 mit (x-s)^2 + (y-t)^2 ≥ r^2 das Äußere vom Kreis. Also die ganze Ebene, nur nicht der Kreis, welcher eben ausgeschlossen wird.

In dem Falle wäre (a - 5/3)^2 + (b-0)^2 ≤ 16/9 = (4/3)^2 also der Kreis um den Punkt (5/3, 0) mit Radius 4/3. Dann ist also die Menge M das ganze Äußere von diesem Kreis.

Hier eine Abbildung der Menge M:

Quelle der Abbildung: Geogebra

Comments

Hier eine Abbildung der Menge M:

Der Kreis selbst gehört zur Lösungsmenge dazu. Ich vermute Du hast in Geogebra versehentlich \(\gt\) statt \(\ge\) geschrieben.

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Da hast Du definitiv Recht! Ich habe < ausversehen eingegeben. Ist jetzt korrigiert, danke! :)

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Danke für die Antwort, mal ne frage zur Notation unser Prof. möchte auch das dass Äquivalenzzeichen mitschreiben. Warum genau wird das gemacht?

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Um zu kennzeichnen, dass man eine Äquivalenzumformung vornimmt.