Du suchst die Elemente der Menge
M := {z ∈ C : |z+1| ≤ 2 |z-1|} ⊆ C.
Ich habe hier mal für Dich eine allgemeine Lösung. Frage gerne bei Unklarheiten nach! :)
Vorgehensweise:
Sei z = a+bi ∈ C eine beliebige komplexe Zahl mit (a, b) = (Re(z), Im(z)) ∈ |R2.
Dann ist |z+1|2 = |(a+1)+bi|2 = (a+1)2 + b2
und analog |z-1|2 = (a-1)2 + b2.
Damit gilt:
|z+1| ≤ 2 |z-1|
<=> |z+1|2 ≤ 4 |z-1|2
<=> (a+1)2 + b2 ≤ 4(a-1)2 + 4b2
<=> (a+1)2 ≤ 4(a-1)2 + 3b2
<=> a2 + 2a+1 ≤ 4a2 -8a + 4 + 3b2
<=> 0 ≤ 3a2 + 3b2 - 10a + 3
(Quadratische Ergänzung für a)
<=> (a - 5/3)2 + b2 ≥ 16/9
D.h. M = {z = a+bi : (a - 5/3)2 + b2 ≥ 16/9}.
Wir identifizieren M jetzt mal als die Menge
{(a,b) ∈ |R2 : (a - 5/3)2 + b2 ≥ 16/9} ≅ M als Teilmenge des |R2.
Hierbei bemerke, dass die Menge aller Punkte (x,y) ∈ |R2 mit (x-s)2 + (y-t)2 ≤ r2 ein Kreis um den Punkt (s,t) ∈ |R2 mit Radius r > 0 ist. Das heisst umgekehrt ist die Menge aller Punkte (x,y) ∈ |R2 mit (x-s)2 + (y-t)2 ≥ r2 das Äußere vom Kreis. Also die ganze Ebene, nur nicht der Kreis, welcher eben ausgeschlossen wird.
In dem Falle wäre (a - 5/3)2 + (b-0)2 ≤ 16/9 = (4/3)2 also der Kreis um den Punkt (5/3, 0) mit Radius 4/3. Dann ist also die Menge M das ganze Äußere von diesem Kreis.
Hier eine Abbildung der Menge M:
Quelle der Abbildung: Geogebra