Question

Für welche Punkte der Gauß'schen Zahlenebene gilt

a) \( 0<\sqrt{2} \operatorname{Im}(z)<|z| \)

b) \( \quad|z+2-i| \geq 2 \)

Ich verstehe die Fragestellung nicht. Ich kann mit imaginären Zahlen rechnen, muss ich hier einfach die Ungleichungen lösen?

Answer 1

Anschaulich zu b)

z hat einen reellen und einen imaginären Teil : z = x + i*y

|x + i*y + 2 -i | ≥ 2

|(x +2) + i*(y - 1)| ≥ 2

Mit allgemein für  |z| = √(x2 + y2) folgt √((x +2)² + (y - 1)²) ≥ 2 <> (x + 2)² + (y - 1)²) ≥ 2² -> Kreisgleichung mit M(2, -1) und Radius r = 2

Anschaulich ist |z +2 - i | = |z -(i -2) | der Abstand der Zahlen z und (i - 2), dieser Abstand soll größer gleich 2 sein. Man sucht zunächst alle Zahlen z, die von (i-2) den Abstand 2 haben. Das könnte ein Kreis mit dem Radius 2 um (i-2). In der Aufgabenstellung steht nun, dass der Abstand größer gleich 2 ist. Das gesuchte Gebiet könnte alles außer den Inhalt des Kreises für r < 2 sein.

Laut oben ermittelter Kreisgleichung (x + 2)² + (y - 1)²) = 2² beschreiben ihre Lösungen (x,y) einen Kreis mit dem Radius r um den Punkt (2,-1). Also liegt ein Kreis vor.