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Aufgabe:

Untersuche, ob ℤ x ℕ durch

(p₁ , q₁) ~ (p₂ , q₂) ⇔ p₁q₂ = p₂q₁

Beschriebene Relation R auf ℤ x ℤ, ebenfalls eine Äquivalenzrelation ist.

b) Weise nach, dass die Teilbarkeitsrelation

a/b ⇔∃ c ∈ ℤ: ac = b

Auf ℤ keine partielle Ordnung ist.


Problem/Ansatz:

Wie beginne ich Reflexivität, Symmetrie und Transitivität bei a zu prüfen?

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Reflexivität:

Gilt (p₁ , q₁) ~ (p₁ , q₁) ?

Symmetrie:

Wenn (p₁ , q₁) ~ (p₂ , q₂) zutrifft: Gilt dann auch (p₂ , q₂) ~ (p₁ , q₁)?

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Ich würde sagen beides gilt.

Aber wie gehe ich vor bei Transitivität?

Wenn (p₁ , q₁) ~ (p₂ , q₂)  und (p2 , q2) ~ (p3, q3) zutreffen: Gilt dann auch (p1 , q1) ~ (p3 , q3)?

Das wäre ja dann :

p₁q₂ = p₂q₁ ∧ p₂q₃ = p₃q₂

p₁/q₁ = p₂/q₂ ∧ p₂/q₂ = p₃/q₃

bekomme ich jetzt nicht ein Problem damit dass q auch 0 annehmen kann und dadurch darf nicht geteilt werden ?

Oder darf ich jetzt sagen:

p₁/q₁= p₃/q₃

Ein anderes Problem?

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