Zeige mittels vollständiger Induktion, dass die Aussage für alle n∈ℕ gilt.

Question

Aufgabe:

Zeige mittels vollständiger Induktion, dass die Aussage für alle n∈ℕ gilt.

∑k³= (n²(n+1)²)/4

Oberhalb des summenzeichen : n

Unterhalb des summenzeichen: k = 1

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

b) Induktionsanfang:
\( z \cdot z: \sum \limits_{k=1}^{n+1} k^{3}=\frac{(n+1)^{2}(n+2)^{2}}{4} \)

Inductionsschritt.
\( \begin{array}{l} \sum \limits_{k=1}^{n-1} k^{3}=\frac{(n+1)^{2}(n+2)^{2}}{4} \\ \sum \limits_{k=1}^{n+1} k^{3}=\left(\sum \limits_{k=1}^{n} k^{3}\right)+(n+1)=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}+(n+1) \end{array} \)

Austammen von \( (n+1) \).
\( =(n+1)\left(\frac{n^{2}(n+1)}{4}+1\right)-\left(\frac{n^{2}(n+1)+4}{4}\right)(n+1) \)

Wie muss ich das weiterführen oder hab ich irgendwo schon einen Fehler gemacht ?

Answer 1

Der Induktionsanfang stimmt so nicht. Setze \(n=1\) und prüfe die Behauptung.

Die Induktionsbehauptung fehlt. Das ist das, was bei dir im Induktionsanfang steht.

Wenn du im Induktionsschritt die letzten Summanden aus die Summe ziehst, dann ist das natürlich \((n+1)^3\) und nicht \((n+1)\). Ansonsten ist Ausklammern keine schlechte Idee. Überlege dir, wo du hinmöchtest und welche Schritte da dann noch hilfreich sein könnten.

Comments

Ich kann nicht folgen, wo (n+1)³ herkommt.

Kannst du das genauer ausführen?

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Wie sehen denn die einzelnen Summanden der Summe aus?

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Weiß ich nicht

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Da werden Werte k³ aufaddiert!

\( \sum\limits_{k=1}^{n}k^3 \) ist also 1³+2³+...+(n-1)³+n³.

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Danke, hab den Rest hinbekommen