Wie beginne ich Reflexivität, Symmetrie und Transitivität zu prüfen?

Question

Aufgabe:

Untersuche, ob ℤ x ℕ durch

(p₁ , q₁) ~ (p₂ , q₂) ⇔ p₁q₂ = p₂q₁

Beschriebene Relation R auf ℤ x ℤ, ebenfalls eine Äquivalenzrelation ist.

b) Weise nach, dass die Teilbarkeitsrelation

a/b ⇔∃ c ∈ ℤ: ac = b

Auf ℤ keine partielle Ordnung ist.

Problem/Ansatz:

Wie beginne ich Reflexivität, Symmetrie und Transitivität bei a zu prüfen?

Answer 1

Reflexivität:

Gilt (p₁ , q₁) ~ (p₁ , q₁) ?

Symmetrie:

Wenn (p₁ , q₁) ~ (p₂ , q₂) zutrifft: Gilt dann auch (p₂ , q₂) ~ (p₁ , q₁)?

Comments

Ich würde sagen beides gilt.

Aber wie gehe ich vor bei Transitivität?

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Wenn (p₁ , q₁) ~ (p₂ , q₂)  und (p₂ , q₂) ~ (p₃, q₃) zutreffen: Gilt dann auch (p₁ , q₁₎ ~ (p₃ , q₃)?

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Das wäre ja dann :

p₁q₂ = p₂q₁ ∧ p₂q₃ = p₃q₂

p₁/q₁ = p₂/q₂ ∧ p₂/q₂ = p₃/q₃

bekomme ich jetzt nicht ein Problem damit dass q auch 0 annehmen kann und dadurch darf nicht geteilt werden ?

Oder darf ich jetzt sagen:

p₁/q₁= p₃/q₃