Lineare Abbildung (x,y,z)-->(z,x,y), C^3 ->C^3 charakteristisches Polynom und Basen der Eigenräume?

Question

Betrachten Sie die lineare Abbildung
\( \alpha: \mathbb{C}^{3} \rightarrow \mathbb{C}^{3},(x, y, z) \mapsto(z, x, y) \)

a) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom von \( \alpha \) und lesen Sie die Eigenwerte von \( \alpha \) ab.

b) Berechnen Sie Basen für die Eigenr äume des Endomorphismus \( \alpha \).

c) Entscheiden Sie, ob \( \alpha \) diagonalisierbar ist und geben Sie ggf. eine Basis \( \mathcal{B} \) an, so dass die zugehörige Koordinatenmatrix \( [\alpha]_{\mathcal{B}, \mathcal{B}} \in \operatorname{Mat}_{3}(\mathbb{C}) \) diagonal ist.

Comments

Beachte vielleicht die Geometrie dieser Abbildung:

die Koordinaten x,y,z werden zyklisch vertauscht.

Das wäre eine Drehung um die Achse

a: r = t (x,x,x)
Drehwinkel 120°

Die Achse ist gleichzeitig Fixgerade und Eigenraum des Eigenwertes k= 1.

Die Matrix dieser Abbildung ist

001

100

010

(1,1,1) ist ein Eigenvektor (Achsenrichtung)

Weitere Eigenvektoren sollte es nicht geben.

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Na ja: Allfällige nichtreale Eigenwerte könnten sich vielleicht über das char. Polynom

X(k) = -k^3 + 1 noch finden lassen.

k^3 = 0

k1 = 1

k2 = e^{2πi/3}

k3 = e^{4πi/3}

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ganz bestimmt sogar

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Im Nachhinein sieht das wider ganz einfach aus. Bräuchte jetzt noch etwas Hilfe bei der b) und der c).

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Also macht es einen Unterschied, dass es sich um einen Endomorphismus handelt?

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Weiß denn niemand was zur b) und c)? Wie berechnet man die Basen für die Eigenräume des Endomorphismus?