In der nxn-Matrix A seien alle Einträge 1. Eigenwert und Eigenräume?

Question

In der nxn-Matrix A seien alle Einträge 1. Bestimmen Sie die Eigenwerte und dir dazugehörigen Eigenräume

Das ist die gestellte Aufgabe. Mein Ansatz:

Wenn ich n=(1,2,...,n) nehme, und dann für n=1 und n=2 und n=3 und... einsetze, habe ich:
n=1 => (1) für n=2 => (0,2) für n=3 => (0,0,3) usw. Ist dann der Eigenwert E=(1,2,3,...n) ???

Das ist bestimmt falsch...

zu den Eigenräumen hab ich noch gar keinen Ansatz.

Answer 1

Wenn du von deiner n = 3 also 3x3 Matrix die Eigenwerte bestimmen willst nimmst du die Determinante und setzt sie gleich null

DET([1 - k, 1, 1; 1, 1 - k, 1; 1, 1, 1 - k]) = 0

Die Eigenwerte sind hier 0 (2-fach) und 3

Bei einer 4x4 Matrix ist es

DET([1 - k, 1, 1, 1; 1, 1 - k, 1, 1; 1, 1, 1 - k, 1; 1, 1, 1, 1 - k])

Die Eigenwerte sind hier 0 (3-fach) und 4

Du solltest zeigen wie es für eine beliebige nxn Matrix aussieht.

Und dann solltest du allgemein die Eigenvektoren zu den Eigenwerten bestimmen.
Habe ich mehrere Eigenvektoren zum Eigenwert 0, dann spannen diese einen Eigenraum auf.

Ich würde also einen Eigenraum zum Eigenwert 0 und einen Eigenvektor zum Eigenvert n vermuten.

Das solltest du jetzt überprüfen ob das tatsächlich so ist.