Aufgabe:
Gegeben seien der Vektorraum \( V \) der reellen rechten oberen Dreieeksmatrizen
\( V=\left\{\left[\begin{array}{rr} a_{1} & a_{2} \\ 0 & a_{3} \end{array}\right] \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \mid a_{1}, a_{2}, a_{3} \in \mathbb{R}\right\} \)
die lineare Abbildung \( L: V \rightarrow V \), sowie die folgenden Bilder von \( L \) :
\( L\left(\left[\begin{array}{rr} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{ll} 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{array}\right], L\left(\left[\begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 0 & -3 \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{rr} 2 & 4 \\ 0 & -6 \end{array}\right], L\left(\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{lr} 0 & -6 \\ 0 & 0 \end{array}\right] \)
a) Bestimmen Sie alle Eigenwerte und die zugehörigen Eigenräume der linearen Abbildung \( L \)
Hinweis: Sie kơnnen diesen Teil durch scharfes Hinsehen und geschicktes Argumentieren lösen! Gelingt Thnen dies nicht, so bearbeiten Sie zunächst die Aufgabenteile \( b \) -d).
b) Bestimmen Sie die darstellende Matrix \( L_{E} \) von \( L \) brgl der Basis
\( \mathcal{B}=\left\{\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 0 & -3 \end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{rr} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{array}\right]^{\prime}\right. \)
Ansatz/Problem:
Ich habe für die Eigenwerte bei a) -3, 2, 0 raus. Aber den Rest kann ich gar nicht, in Bezug auf diese Aufgabenstellung lösen