Reelle rechte obere Dreiecksmatrize. Wie bestimme ich die Eigenräume, etc.? Rechte obere Dreiecksmatrix

Question

Aufgabe:

Gegeben seien der Vektorraum \( V \) der reellen rechten oberen Dreieeksmatrizen

\( V=\left\{\left[\begin{array}{rr} a_{1} & a_{2} \\ 0 & a_{3} \end{array}\right] \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \mid a_{1}, a_{2}, a_{3} \in \mathbb{R}\right\} \)

die lineare Abbildung \( L: V \rightarrow V \), sowie die folgenden Bilder von \( L \) :

\( L\left(\left[\begin{array}{rr} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{ll} 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{array}\right], L\left(\left[\begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 0 & -3 \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{rr} 2 & 4 \\ 0 & -6 \end{array}\right], L\left(\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{lr} 0 & -6 \\ 0 & 0 \end{array}\right] \)

a) Bestimmen Sie alle Eigenwerte und die zugehörigen Eigenräume der linearen Abbildung \( L \)

Hinweis: Sie kơnnen diesen Teil durch scharfes Hinsehen und geschicktes Argumentieren lösen! Gelingt Thnen dies nicht, so bearbeiten Sie zunächst die Aufgabenteile \( b \) -d).

b) Bestimmen Sie die darstellende Matrix \( L_{E} \) von \( L \) brgl der Basis
\( \mathcal{B}=\left\{\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 0 & -3 \end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{rr} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{array}\right]^{\prime}\right. \)

Ansatz/Problem:

Ich habe für die Eigenwerte bei a) -3, 2, 0 raus. Aber den Rest kann ich gar nicht, in Bezug auf diese Aufgabenstellung lösen

Answer 1

Es ist klar, dass alle Eigenräume eindimensional sein müssen.$$\text{(1) }L\left(\begin{bmatrix}1&2\\0&-3\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}2&4\\0&-6\end{bmatrix}=2\cdot\begin{bmatrix}1&2\\0&-3\end{bmatrix}.$$Also ist \(x=2\) Eigenwert von \(L\) und es ist \(\text{Eig}(L,2)=\text{span}\left\{\begin{bmatrix}1&2\\0&-3\end{bmatrix}\right\}\).$$\text{(2) }L\left(\begin{bmatrix}0&-1\\0&0\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}0&3\\0&0\end{bmatrix}=-3\cdot\begin{bmatrix}0&-1\\0&0\end{bmatrix}.$$Also ist \(y=-3\) Eigenwert von \(L\) und es ist \(\text{Eig}(L,-3)=\text{span}\left\{\begin{bmatrix}0&-1\\0&0\end{bmatrix}\right\}\).$$\text{(3) }L\left(\begin{bmatrix}1&-2\\0&0\end{bmatrix}\right)=L\left(2\cdot\begin{bmatrix}0&-1\\0&0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}\right)$$$$=2\cdot L\left(\begin{bmatrix}0&-1\\0&0\end{bmatrix}\right)+L\left(\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}\right)=2\cdot\begin{bmatrix}0&3\\0&0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0&-6\\0&0\end{bmatrix}$$$$=\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}=0\cdot\begin{bmatrix}1&-2\\0&0\end{bmatrix}.$$Also ist \(z=0\) Eigenwert von \(L\) und es ist \(\text{Eig}(L,0)=\text{span}\left\{\begin{bmatrix}1&-2\\0&0\end{bmatrix}\right\}\).

Comments

Oh man, das ist ja eig. schon das gewesen, was ich für die Eigenwerte bestimmt habe :S Ich musste nur den span angeben, der schon zu sehen war. Wie auch immer Danke :)

Könntest du mir bitte sagen wie ich bei b) vorangehen soll ?