Berechne die Länge der Rechteckseiten

Question

Aufgabe:

In einem Rechteck ist die Länge der einen Seiten um 3 cm kürzer als die der anderen. Die Länge der Diagonalen beträgt \( \sqrt{65 cm} \) . Berechne die Länge der Rechteckseiten

Problem/Ansatz:

In den Lösungen steht x=7 ; x-3= 4

\( \sqrt{65 cm} \) =\( \sqrt{x^2} \) + (x-3)² habe ich soweit aufgelöst bis ich auf x² + 3x = 28

    

Answer 1

x = die eine Seitenlänge, y = die andere

y= x-3

Es gilt:

x^2+ (x-3)^2 = 65

x^2+x^2-6x+9 = 65

2x^2-6x-56 = 0

x^2-3x-28 = 0

Satz von Vieta:

(x-7)(x+4) = 0

x= 7 v x= -4 (entfällt)

oder pq-Formel:

x1/2 = 1,5±√(1,5^2+28) = 1,5± 5,5

x1= 7

x2 = -4

Lösung: x=7, y= 4

Answer 2

\(\displaystyle \sqrt{65} = \sqrt{x^2+ (x-3)^2} \)                             quadrieren

\(\displaystyle 65  = x^2+ (x-3)^2 \)                                     ausmultiplizieren

\(\displaystyle 65  = x^2+ x^2-6x+9 \)                              addieren

\(\displaystyle 2x^2-6x-56 = 0\)                                      dividiert durch 2

\(\displaystyle x^2-3x-28 = 0\)                                        Lösungsformel

\(\displaystyle x_1 = 7\)

Answer 3

Es muss \(x^2-3x=28\) heißen. Forme um zu \(x^2-3x-28=0\) und wende die pq-Formel an.

Answer 4

Oder mit der quadratischen Ergänzung:

\(x^2-3x-28 = 0\)

\(x^2-3x = 28\)

\(x^2-3x+(\frac{3}{2} )^2= 28+(\frac{3}{2} )^2=\frac{112+9}{4}\)      2.Binom:

\((x-\frac{3}{2} )^2=\frac{121}{4}|±\sqrt{~~}\)

1.)

\(x-\frac{3}{2} =\frac{11}{2}\)

\(x_1=7\)

2.)

\(x_2=-4\)  Negative Längen gibt es nicht.

Die 2. Seite soll 3 cm kürzer sein  \(7-3=|-4|=4\)