Zeigen, dass die Geraden senkrecht zueinander verlaufen

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Geraden \( \mathrm{g}: \overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}3 \\ -3 \\ 3\end{array}\right)+\mathrm{r} \cdot\left(\begin{array}{c}3 \\ 0 \\ -1\end{array}\right) \) mit \( \mathrm{r} \in \mathbb{R} \) und \( \mathrm{h}: \overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}3 \\ -3 \\ 3\end{array}\right)+\mathrm{s} \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 3\end{array}\right) \) mit \( \mathrm{s} \in \mathbb{R} \).

Geben Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von g und h an. Zeigen Sie, dass g und h senkrecht zueinander verlaufen.

Problem/Ansatz:

Könnt ihr mir bitte diese Aufgabe schrittweise bitte sehr erklären? Ich mache Aufgaben für Abi Vorbereitung und hänge an diese Aufgabe. Und wollte sie bitte mir es schrittweise zu erklären, bitte sehr.

Answer 1

Hast Du die Parameterdarstellung von Geraden verstanden?

Dann schau Dir die beiden Darstellungen an. Einen Schnittpunkt kannst Du problemlos ablesen.

Zwei Geraden stehen senkrecht zueinander, wenn ihre Richtungsvektoren senkrecht zueinander sind. Das kann man mit dem Skalarprodukt prüfen.

Was erhältst Du als Ergebnis?

Answer 2

Geben Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von g und h an. Zeigen Sie, dass g und h senkrecht zueinander verlaufen.

Da die Stützvektoren [3, -3, 3] beider Vektoren gleich sind, ist die ein gemeinsamer Punkt und damit der Schnittpunkt.

Da das Skalarprodukt der Richtungsvektoren [3, 0, -1] * [1, 0, 3] = 3 - 3 = 0 ist, schneiden sich die Geraden im rechten Winkel und stehen damit senkrecht zueinander.