Schnittgerade gesucht von E1 und E2 ?!

Question

Aufgabe:

…

Gesucht ist die Schnittgerade g von E1und E2

E1: 2x+6y+3z=12

E2: 2x+2y+2z=8

Problem/Ansatz:

ich bekomme von meinen cas immer als richtungs vektor (3/4r | 1/4r | r) raus. Der Stützvektor (3/1/0 ist richtig). Warum ist das so ?? Es müsste normaler Weise als richtungsvektor (-3/-1/4) rauskommen…

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Aus der Subtraktion der beiden Ebenengleichungen folgt 4y + z = 4   ⇔   y = 1 - 1/4 z, das eingesetzt in die erste Ebenengleichung 2x + 6(1 - z/4) + 3z = 12   ⇔   x = 3 - 3/4 z und daraus folgt die Gleichung der Schnittgeraden

\( \vec{x} = \begin{pmatrix} 3\\1\\0 \end{pmatrix} + z\cdot\begin{pmatrix} -3/4\\-1/4\\1 \end{pmatrix}\)

Wenn man den Richtungsvektor mit 4 multipliziert, hat man den aus der Musterlösung.

Bei dem was Du aus dem CAS abgelesen hast, ist in einer Dimension das Vorzeichen falsch. Oder in den beiden anderen.

Answer 1

Es gibt nicht DEN Richtungsvektor.

Es gibt unendlich viele mögliche Richtungsvektoren (die jeweils einfach nur Vielfache voneinander sind).

Vergleiche in dieser Hinsicht "deinen" (besser: den CAS-Richtungsvektor) mit dem Richtungsvektor (-3/-1/4) der Musterlösung.

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Vergleiche in dieser Hinsicht "deinen" (besser: den CAS-Richtungsvektor) mit dem Richtungsvektor (-3/-1/4) der Musterlösung.

Wenn man wie der Fragesteller den CAS-Richtungsvektor falsch abließt, wie es der Fragesteller gemacht hat, dann stellt man fest, dass sie nicht vielfache voneinander sind

(3/4·r | 1/4·r | r) ≠ (-3 | -1 | 4) für jedes r.

Daher sollte man den Vektor aus dem CAS auch richtig ablesen.

Answer 2

Dein CAS rechnet nicht irgendeinen Richtungsvektor aus, sondern alle (sogar mehr als alle!).

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ok und im Test hätte ich das so stehen lassen können?

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ok und im Test hätte ich das so stehen lassen können?

Das ärgert mich schon wieder. Statt irgendein Verständnis anzustreben, fragst du nach "Testkompatibilität".

Sei doch mal zielorientiert!
Eine Gerade ist bereits durch zwei ihrer Punkte eindeutig bestimmt. Vergiss also das ganze Taschenrechner- und rref-Gedöns.

Du benötigst einfach zwei Tripel (x,y,z), die das Gleichungssystem

2x+6y+3z=12
2x+2y+2z=8

erfüllen. Wenn du beide Gleichungen voneinander subtrahierst, erhältst du

4y+z= 4.

Das wird (zum Beispiel) erfüllt von

y=0 und z=4

und von

y=1 und z=0.

(Übrigens auch von x=13 und z=-48.)

Wenn du y=0 und z=4 in eine der beiden Gleichungen (z.B. in die zweite) einsetzt, erhältst du x=0.

und hast damit das komplette Tripel (0;0;4).
Der Punkt (0;0;4) liegt also in beiden Ebenen.

Wenn du y=1 und z=0 in eine der beiden Gleichungen (z.B. in die zweite) einsetzt, erhältst du x=3

und hast damit das komplette Tripel (3;1;0).

Der Punkt (3;1;0) liegt also in beiden Ebenen.

Der Vektor vom ersten zum zweiten Punkt ist (3;1;-4) und kann als Richtungsvektor der Schnittgeraden dienen. Ein möglicher Stützvektor ist (0;0;4) oder auch (3;1;0).

Answer 3

Die Lösung des Gleichungssystems ergibt sich aus folgender Zeilenstufenform

x + 3/4·z = 3
y + 1/4·z = 1

Bringe jetzt das z auf die andere Seite und schreibe das ganze Vektoriell

x = 3 - 3/4·z
y = 1 - 1/4·z

[x, y, z] = [3, 1, 0] + z·[- 3/4, - 1/4, 1]

Nun ist nicht nur [- 3/4, - 1/4, 1] ein Richtungsvektor, sondern jedes beliebige Vielfache (außer das Nullfache natürlich), also auch

4·[- 3/4, - 1/4, 1] = [- 3, - 1, 4]

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Das Gleichungssystem hat die Lösung

x + 3/4·z = 3
y + 1/4·z = 1

Meinst du das so wie du das schreibst?

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Meinst du das so wie du das schreibst?

Ich habe es verbessert.