Sind die jeweiligen Zufallsvariablen unabhängig oder abhängig?

Question

Aufgabe:

Eine faire Münze wird dreimal geworfen. Man betrachte folgende Zufallsvariablen: \( X \) gibt an, wie oft "Kopf" geworfen wird, \( Y \) gibt an, wie oft "Zahl" geworfen wird, \( V=|X-Y| \), und
\( W=\left\{\begin{array}{ll} 0 & \text { falls beim ersten Wurf "Kopf" geworfen wird, } \\ 1 & \text { sonst } \end{array} .\right. \)

Untersuchen Sie, ob die jeweiligen Zufallsvariablen unabhängig oder abhängig sind:
1. X und V ,
2. X und W ,
3. V und W.

Problem/Ansatz:

Hallo! Wäre mein Ansatz hier richtig, oder gäbe es einen besseren Weg diese Aufgabe zu lösen?

- X: Anzahl der geworfenen „Kopf" (in den drei Würfen).
- \( \quad Y \) : Anzahl der geworfenen \( { }_{\text {Zahl" }} \) (in den drei Würfen).
- \( V=|X-Y| \) : Der absolute Unterschied zwischen der Anzahl der Kopf- und Zahl-Würfe.
- W: Definiert als 0, wenn der erste Wurf „Kopf" ist, und 1, wenn der erste Wurf \( { }_{n} \) Zahl" ist.


1. Unabhängigkeit zwischen \( X \) und \( V \)

Da \( V=|X-Y| \) und \( Y=3-X \) ist (weil es insgesamt drei Würfe gibt, sodass \( X+Y=3 \) ), können wir \( V \) nur mit \( X \) ausdrücken:
\( V=|X-(3-X)|=|2 X-3| \)

Diese Abhängigkeit zeigt, dass \( V \) vollständig durch \( X \) bestimmt wird. Das bedeutet, dass \( X \) und \( V \) nicht unabhängig sind.
2. Unabhängigkeit zwischen \( X \) und \( W \) 

Die Zufallsvariable \( W \) wird ausschließlich durch das Ergebnis des ersten Wurfs bestimmt:
- \( W=0 \), wenn der erste Wurf „Kopf" ist.
- \( W=1 \), wenn der erste Wurf \( { }_{n} Z_{\text {Zahl" }} \) ist.

Die Gesamtanzahl der geworfenen „Kopf" ( \( X \) ) hängt von allen drei Würfen ab, aber \( W \) hängt nur vom ersten ab. Die Verteilung von \( X \) (Gesamtanzahl der Kopf-Würfe über die drei Würfe) ändert sich nicht wesentlich, abhängig davon, ob der erste Wurf „Kopf" oder „Zahl" ist. Es beeinflusst nur die Wahrscheinlichkeit für die verbleibenden zwei Würfe. Daher sind die Anzahl der Kopf-Würfe in den Würfen zwei und drei unabhängig vom Ergebnis des ersten Wurfs. Das bedeutet, dass \( X \) und \( W \) unabhängig sind.

3. Unabhängigkeit zwischen \( V \) und \( W \) 

Da \( V \) von der Gesamtanzahl der Kopf- und Zahl-Würfe über alle drei Würfe abhängt und \( W \) nur vom Ergebnis des ersten Wurfs abhängt, könnte trotzdem eine Abhängigkeit bestehen.
Insbesondere: Wenn der erste Wurf „Kopf" ist ( \( W=0 \) ), ist es wahrscheinlicher, dass \( X \) (und somit \( V \) ) höher ausfällt. Ebenso beeinflusst es die Verteilung von \( V \), wenn der erste Wurf \( { }_{n} Z \) Zahl" ist ( \( \boldsymbol{W}= \)
1). Diese Verbindung zeigt, dass eine Abhängigkeit zwischen \( V \) und \( W \) besteht, sodass \( V \) und \( W \) nicht unabhängig sind.

- \( X \) und \( V \) sind nicht unabhängig.
- \( X \) und \( W \) sind unabhängig.
- \( \quad V \) und \( W \) sind nicht unabhängig.

Comments

Ist das jetzt hier eine neue Masche als Ansatz einfach die Antwort einer KI zu liefern? Man sollte dann zumindest in der Lage sein, diese selbst auf Richtigkeit zu prüfen. Irgendeine Eigenleistung sollte man doch erbringen können. Es wäre zudem wünschenswert, wenn man schon eine KI bemüht, dass man dies entsprechend kennzeichnet.

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Wenn man dann noch bedenkt, dass tzatzaki = ikjea, fragt man sich was das Rumgetrolle soll?

Answer 1

Um die Unabhängigkeit der Zufallsvariablen zu untersuchen, müssen wir die gemeinsamen Verteilungen der Zufallsvariablen betrachten und mit den Produktverteilungen vergleichen. Zwei Zufallsvariablen \( A \) und \( B \) sind unabhängig, wenn gilt:
\( P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B) \)
\#\# 1. Unabhängigkeit von \( X \) und \( V \)
Zuerst bestimmen wir die Zufallsvariablen \( X \) und \( V \) :
- \( X \) kann die Werte \( 0,1,2,3 \) annehmen, wobei \( X \) die Anzahl der "Kopf'-Würfe darstellt.
- \( Y-3-X \) ist die Anzahl der "Zahl"-Würfe.
\( -V-|X-Y|-|X-(3-X)|-|2 X-3| \)

Die möglichen Werte von \( V \) sind:
- Wenn \( X=0 \), dann \( V=|2 \cdot 0-3|-3 \).
-Wenn \( X-1 \), dann \( V-|2 \cdot 1-3|-1 \).
-Wenn \( X-2 \), dann \( V=|2 \cdot 2-3|-1 \).
-Wenn \( X-3 \), dann \( V-|2 \cdot 3-3|-3 \).
Die möglichen Werte von \( V \) sind also 1 und 3 .
Nun berechnen wir die Wahrscheinlichkeiten:
- \( P(X-0)-\frac{1}{8} \)
- \( P(X-1)-\frac{3}{8} \)
- \( P(X-2)-\frac{3}{8} \)
- \( P(X-3)-\frac{1}{8} \)

Die Wahrscheinlichkeiten für \( V \) :
- \( P(V-1)-P(X-1)+P(X-2)-\frac{3}{8}+\frac{3}{8}-\frac{6}{8}-\frac{3}{4} \)
- \( P(V-3)-P(X-0)+P(X-3)-\frac{1}{8}+\frac{1}{8}-\frac{2}{8}-\frac{1}{4} \)

Nun prüfen wir die gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten:
- \( P(X-1, V-1)-P(X-1)-\frac{3}{8} \)
- \( P(X-3, V-3)-P(X-3)-\frac{1}{8} \)

Berechnen wir \( P(X-1) \cdot P(V-1) \) :
\( P(X-1) \cdot P(V-1)-\frac{3}{8} \cdot \frac{3}{4}-\frac{9}{32} \)

Da \( P(X-1, V-1)-\frac{3}{8} \neq \frac{9}{32} \), sind \( X \) und \( V \) abhängig.
\#\#2. Unabhängigkeit von \( X \) und \( W \)
Die Zufallsvariable \( W \) hat die Werte 0 oder 1 :
- \( W=0 \) wenn der erste Wurf "Kopf" ist (Wahrscheinlichkeit \( P(W-0)-\frac{1}{2} \) ).
- \( W=1 \) wenn der erste Wurf "Zahl" ist (Wahrscheinlichkeit \( P(W-1)-\frac{1}{2} \) ).

Berechnen wir die bedingten Wahrscheinlichkeiten:
- \( P(X-k \mid W-0) \) und \( P(X-k \mid W-1) \) sind gleich, da der erste Wurf keinen Einfluss auf die

Anzahl der "Kopf'-Würfe hat.
Somit gilt:
\( P(X-k, W-0)-P(X-k) \cdot P(W-0) \)

Daher sind \( X \) und \( W \) unabhängig.
\#\#3. Unabhängigkeit von \( V \) und \( W \)
Wir betrachten die Wahrscheinlichkeiten für \( V \) und \( W \) :
- \( P(V-1 \mid W-0) \) und \( P(V-1 \mid W-1) \) müssen berechnet werden.

Da \( W \) den ersten Wurf beeinflusst, müssen wir die Verteilung von \( V \) in Abhängigkeit von \( W \) betrachten.
Wenn \( W=0 \) (erster Wurf ist "Kopf"), dann kann \( X \) die Werte \( 1,2,3 \) annehmen. Wenn \( W-1 \) (erster Wurf ist "Zahl"), dann kann \( X \) die Werte \( 0,1,2 \) annehmen.

Die Wahrscheinlichkeiten für \( V \) in beiden Fällen sind unterschiedlich, was bedeutet, dass \( V \) und \( W \) abhängig sind.

1. \( X \) und \( V \) sind abhängig.
2. \( X \) und \( W \) sind unabhängig.
3. \( V \) und \( W \) sind abhängig.