Wahrscheinlichkeit- unabhängige Zufallsvariablen

Question

Aufgabe:

Sei P ein Wahrscheinlickeitsmaß auf Ω

a) Sei A⊂B⊂Ω. Zeige P(A) kleiner P(B)

b)Seien X und Y zwei unabhängige Zufallsvariablen mit Werten in Z. Zeigen Sie dass P=(X+Y=n) = ∑_k∈ΖP(X=n-k) * P(Y=k)

Problem/Ansatz:

a) Die Aussage ist natürlich klar, da sich im Grundraum Ω alle Elementarereignisse befinden und die Menge A kleiner ist als B

 Aber bei der Wahrscheinlichkeit fehlt mir ein Schritt um es zu verstehen.

b) Leider Verstehe ich die Aussage nicht ganz. Ich weiß dass man bei unabhängigen Zufallsvariablen bei Multiplikation         aufteilen kann aber mit dem kann ich irgendwie nichts anfangen.

Bin für jede Hilfe und Tipps dankbar

Danke

Comments

a) stimmt nicht.

Nehme die Gleichverteilung auf dem Intervall [0,1].

Dann ist P([0,1)) = P([0,1]).

---

Aber die Intervalle sind ja gleich und A sollte Teilmenge von B sein.

Oder denke ich da falsch

---

Da denkst du falsch.

A=[0,1) ist eine echte Teilmenge von B=[0,1].
Deine Aussage a) gilt für diskrete Wahrscheinlichkeitsmaße.

---

Oh ja hatte die runde Klammer übersehen, Danke.

Okey dann muss ich wohl unterscheiden zwischen Diskret und absolutstetig

Dankeschön

Answer 1

Zu b)
Du zerlegst \(\{X+y=n\}\) disjunkt:
$$\{X+Y=n\}= \bigcup_{k\in\mathbb Z} \left(\{X+Y=n\} \cap \{X=k\} \right) = \ldots $$

$$\ldots = \bigcup_{k\in\mathbb Z} \left(\{Y=n-k\} \cap \{X=k\} \right)$$

Jetzt wendest du die \(\sigma\)-Additivität von \(P\) an und die Unabhängigkeit von \(X\) und \(Y\).