Faltungsformel. Unabhängige, normalverteilte Zufallsvariablen. Zeigen dass X + Y Tilde N(µ1 + µ2, s_(1)^2 + s_(1)^2 ) .

Question

Für die  Stochastik-Vorlesung muss ich folgende Übungsaufgaben lösen.

Leider fehlt mir jeglicher Ansatz. Kann mir da vielleicht jemand helfen?

Seien \( X \) und \( Y \) stochastisch unabhängige Zufallsvariablen mit
$$ X \sim \mathcal{N}\left(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2}\right) \quad \text { und } \quad Y \sim \mathcal{N}\left(\mu_{2}, \sigma_{2}^{2}\right) $$
wobei \( \mu_{1}, \mu_{2} \in \mathbb{R} \) und \( \sigma_{1}^{2}, \sigma_{2}^{2}>0 . \) Zeigen Sie, dass \( X+Y \sim \mathcal{N}\left(\mu_{1}+\mu_{2}, \sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}\right) \)
Hinweis: Benutzen Sie die Faltungsformel.

Comments

Leider fehlt mir jeglicher Ansatz. Hinweis: Benutzen Sie die Faltungsformel 

Hast du diese Formel gefunden? Wie lautet sie? Was hindert dich daran sie zu verwenden?

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 Im Skript finde ich dazu das. 

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Für diese Faltungsformel brauchst du die Dichten der beiden gegebenen Normalverteilungen. Damit du sie in diese Formel einsetzen kannst.

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Oh stimmt.

Wir hätten auch noch folgendes in der Vorlesung definiert:

Definition: Sind 2 diskrete W-Verteilungen p=(p(m)) mit m∈M und q=(q(m))m∈M auf einer abzählbaren Menge M⊂ℝ gegeben, dann nennt man die Verteilung (u(s)) mit s∈ℝ mit:

u(s) = ∑p(m)•q(s-m) ∀ s∈ℝ

die Faltung der beiden gegeben Verteilungen und schreibt = p*g

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Eine Normalverteilung hat eine stetige Dichte mit e-Funktionen. Da passt dein erster Ausschnitt besser.

Diskrete Verteilungen erkennst du an Treppenstufen in der Verteilungsfunktion.

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Bei Normalverteilung muss doch diese Dichtefunktion vorliegen oder?