Gegeben ist die Funktionenschar fx (k > 0) mit \(f(x) = x \cdot e^{-kx}\).
Berechnen Sie den Extrempunkt und den Wendepunkt des Graphen von fk. Berechne ebenfalls die Ortskurve.
\(f(x) = \frac{x}{e^{kx}}\) Ableitung mit der Quotientenregel: \( [\frac{Z}{N}]'=\frac{Z'\cdot N-Z \cdot N'}{N^2} \)
\(f'(x) = \frac{1\cdot e^{kx}-x \cdot e^{kx}\cdot k }{(e^{kx})^2}\) Kürzen:
\(f'(x) = \frac{1-x \cdot k }{e^{kx}}\)
Extrema in Abhängigkeit von \(k\)
\( \frac{1-x \cdot k }{e^{kx}}=0\) Nenner ≠ 0
\( x= \frac{1}{k} \) \(f(\frac{1}{k}) = \frac{\frac{1}{k}}{e^{k \cdot \frac{1}{k}}}=\frac{1}{k\cdot e}\)
Ortskurve:
\( x= \frac{1}{k} \) auflösen nach \(k=\frac{1}{x}\) einsetzen in \(y=\frac{1}{k\cdot e}\) → \(y=\frac{1}{\frac{1}{x}\cdot e}=\frac{x}{e}\)
