Berechnen Sie den Extrempunkt und den Wendepunkt des Graphen von fk.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktionenschar f_k (k > 0) mit f_k(x) = x·e^-kx.
Berechnen Sie den Extrempunkt und den Wendepunkt des Graphen von f_k. Berechne ebenfalls die Ortskurve.

Problem/Ansatz:

Wie gehe ich hier vor? Ich bin verzweifelt … Danke für die Hilfe!

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Berechne ebenfalls die Ortskurve.

https://studyflix.de/mathematik/ortskurve-4855

Answer 1

Gegeben ist die Funktionenschar fx (k > 0) mit \(f(x) = x \cdot e^{-kx}\).
Berechnen Sie den Extrempunkt und den Wendepunkt des Graphen von fk. Berechne ebenfalls die Ortskurve.

\(f(x) = \frac{x}{e^{kx}}\) Ableitung mit der Quotientenregel: \( [\frac{Z}{N}]'=\frac{Z'\cdot N-Z \cdot N'}{N^2} \)

\(f'(x) = \frac{1\cdot e^{kx}-x \cdot e^{kx}\cdot k  }{(e^{kx})^2}\)  Kürzen:

\(f'(x) = \frac{1-x \cdot k }{e^{kx}}\)

Extrema in Abhängigkeit von \(k\)

\( \frac{1-x \cdot k }{e^{kx}}=0\)    Nenner ≠ 0

\( x= \frac{1}{k} \)       \(f(\frac{1}{k}) = \frac{\frac{1}{k}}{e^{k \cdot \frac{1}{k}}}=\frac{1}{k\cdot e}\)

Ortskurve:

\( x= \frac{1}{k} \)  auflösen nach \(k=\frac{1}{x}\)  einsetzen in \(y=\frac{1}{k\cdot e}\)    →  \(y=\frac{1}{\frac{1}{x}\cdot e}=\frac{x}{e}\)

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Berechnung der Wendestelle:

\(f'(x) = \frac{1-x \cdot k }{e^{kx}}\)

\(f''(x) = \frac{(-k)\cdot e^{kx} -(1-x \cdot k  ) \cdot e^{kx}\cdot k}{(e^{kx})^2}\)   Kürzen:

\(f''(x) = \frac{(-k)-(1-x \cdot k ) \cdot k}{e^{kx}}\\= \frac{-2k+x \cdot k^2  }{e^{kx}}\)

\( \frac{-2k+x \cdot k^2  }{e^{kx}}=0\)

\( x=\frac{2}{k}\) ist die Wendestelle        \(f(\frac{2}{k}) = \frac{\frac{2}{k}}{e^{kx}}=\frac{2}{k \cdot e^{kx}}\)

W\((\frac{2}{k}|\frac{2}{k \cdot e^{kx}})\) ist der Wendepunkt

Ortslinie der Wendepunkte:

\( k=\frac{2}{x}\)  in \(y=\frac{2}{k \cdot e^{kx}}\) einsetzen:

\(y=\frac{2}{\frac{2}{x} \cdot e^{\frac{2}{x}x}}=\frac{x}{e^2}\)

Answer 2

Wie man Extrem- und Wendepunkte allgemein berechnet, ist klar? Bestimme erst einmal die Ableitungen mit Hilfe der Produkt- und Kettenregel. Dabei behandelst du \(k\) einfach wie eine Zahl. Die Ableitung von \( \mathrm{e}^{-kx}\) ist nach der Kettenregel dann zum Beispiel \(-k\mathrm{e}^{-kx}\).

Kommst du damit schon mal weiter?

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Hallo :) Ja, die allgemeine Rechnung ist klar. Als Ableitung habe ich f’(x)=(1-kx) mal e hoch -kx. Die Ableitung muss ich jetzt gleich 0 setzten (Notwendige Bedingung). Dann muss brauche ich für die hinreichende Bedingung die zweite Ableitung, damit tue ich mich aber schwer. Habe jetzt f”(x)=(2-kx) mal -ke hoch -kx.

Bei dem Wendepunkt gehe ich wie oben vor, nur mit der zweiten und dritten Ableitung. Dann komme ich für die Extrempunkte auf EP (1/k | 1/k e hoch -1)

Bei den Wendepunkten habe ich WP (2/k |2/k e hoch -2). Durch meine Unsicherheit bei der Ableitung bezweifle ich jedoch mein Ergebnis…

Für die Ortskurve der Extreme habe ich y= x mal e hoch -1, ich bin mir aber auch da unsicher…