Wahrscheinlichkeitsmassefunktion bestimmen bei Mensch ägere dich nicht

Question

Aufgabe:

Bei Mensch ägere dich nicht! muss man eine 6 würfeln, bevor eine der Spielfiguren auf das Spielfeld gesetzt werden darf.

a) Es sei \( X \) die Anzahl der Würfe, die ein Spieler benötigt, um eine 6 zu werfen. (Der Wurf, in dem die 6 fällt, wird mitgezählt.) Gib die Wahrscheinlichkeitsmassefunktion \(p_x(k)\) an.

b) Es sei \(Y\) die Anzahl der Würfe, die ein Spieler benötigt, um viermal eine 6 zu zu würfeln. Berechne \(p_y(k)\).

c) Zeige, dass allgemein für \(p \in (0,1)\) und \( r \in \mathbb{N}\) durch \(p_r(k) = \binom{k-1}{r-1} p^r(1-p)^{k-r}\) eine Wahrscheinlichkeitsmassefunktion auf \({r,...r+1}\) gegeben ist.

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich die Wahrscheinlichkeiten bei der Wahrscheinlichkeitsmassefunktion für X würfe setzen soll.

Über Hilfe würde ich mich freuen

Answer 1

a)

Es gilt doch

\(P(X=1)=\frac{1}{6}\)

\(P(X=2)=\frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6}\)

\(P(X=3)=\left(\frac{5}{6}\right)^2\cdot \frac{1}{6}\)

usw.

b) Negative Binomialverteilung.