Wahrscheinlichkeitsmassefunktion bestimmen bei Mensch ägere dich nicht

Question

Aufgabe:

Bei Mensch ägere dich nicht! muss man eine 6 würfeln, bevor eine der Spielfiguren auf das Spielfeld gesetzt werden darf.

a) Es sei \( X \) die Anzahl der Würfe, die ein Spieler benötigt, um eine 6 zu werfen. (Der Wurf, in dem die 6 fällt, wird mitgezählt.) Gib die Wahrscheinlichkeitsmassefunktion \(p_x(k)\) an.

b) Es sei \(Y\) die Anzahl der Würfe, die ein Spieler benötigt, um viermal eine 6 zu zu würfeln. Berechne \(p_y(k)\).

c) Zeige, dass allgemein für \(p \in (0,1)\) und \( r \in \mathbb{N}\) durch \(p_r(k) = \binom{k-1}{r-1} p^r(1-p)^{k-r}\) eine Wahrscheinlichkeitsmassefunktion auf \({r,...r+1}\) gegeben ist.

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich die Wahrscheinlichkeiten bei der Wahrscheinlichkeitsmassefunktion für X würfe setzen soll.

Über Hilfe würde ich mich freuen

Answer 1

a)

Es gilt doch

\(P(X=1)=\frac{1}{6}\)

\(P(X=2)=\frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6}\)

\(P(X=3)=\left(\frac{5}{6}\right)^2\cdot \frac{1}{6}\)

usw.

b) Negative Binomialverteilung.

Comments

Hätte man bei b) dann \( \binom{k-1}{r-1} \cdot (\frac{1}{6})^4 \cdot \frac{5}{6}^{k-4}\)?

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Ja, beachte noch \(r=4\).

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Okay, dann habe ich \(\binom{k-1}{4-1} \cdot( \frac{1}{6})^k \cdot (\frac{5}{6})^{k-4}\)

=\(\frac{(k-1)!}{(k-1)! \cdot (3-k-1)!} \cdot ( \frac{1}{6})^k \cdot (\frac{5}{6})^{k-4}\)

=\(\frac{1}{(2-k)!} ( \frac{1}{6})^k \cdot (\frac{5}{6})^{k-4}\)

Wie kann man das noch weiter vereinfachen?

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Ich würde da gar nicht weiter vereinfachen. Ansonsten könnte man natürlich noch mit den Potenzen ein bisschen herumspielen, aber das halte ich nicht wirklich für sinnvoll.

Allerdings dürfte die Auflösung des Binomialkoeffizienten bei dir auch nicht ganz korrekt sein.

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Okay, aber wo liegt der Fehler bei der Auflösung?

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\(\binom{k-1}{3}=\frac{(k-1)!}{3!(k-1-3)!}\)

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Okay, da hab ich mich bei der Formel verguckt. Danke.