Alternierende Gruppe genau dann abelsch, wenn n \in\{2,3\} .

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die alternierende Gruppe \( A_{n} \) genau dann abelsch ist, wenn \( n \in\{2,3\} \).

Problem/Ansatz:

Ich habe gezeigt, dass \( A_{n} \) abelsch ist für n=2 und n=3. Ich weiß aber nicht, wie ich zeigen soll, dass \( A_{n} \) für n ≥ 3 nicht abelsch ist.

Kann mir jemand einen Tipp geben?

Dankeschön :)

Comments

1. Für \(n>3\)

2. Hast du schon mal den Fall \(n=4\), \(n=5\), ... betrachtet? Du musst ja nur ein Gegenbeispiel finden. Versuche es dann zu verallgemeinern.

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Tip: \(A_n\) ist für \(n\geq 3\) durch \(3\)-Zykel generiert. Guck dir mal an, wie \(3\)-Zykel im Allgemeinen kommutieren könnten (oder auch nicht). Dass \(A_3\) abelsch ist, ist quasi nur dem "Zufall" zu danken, dass hier alle \(3\)-Zykel Potenzen von \((1\ 2\ 3)\) sind.

Answer 1

Finde zwei Elemente \(a,b\in A_4\), so dass \(ab\neq ba\) ist.

Comments

(Und nutze, dass \(A_4\leq A_n\) für \(n\geq 4\))