Sind folgende Abbildungen alternierende n-Linearformen?

Question

Hi zusammen,

ich sitze jetzt seit einer ganzen Weile an dieser Aufgabe und komme nicht weiter. Ehrlich gesagt verstehe ich sie auch nicht zu 100%. Ich muss doch schauen, ob die g1,..,g4 alternieren, richtig? Wie mach ich das hier?

Beste Grüße
Mirko

Answer 1

Du musst natürlich auch die n-Linearität untersuchen, etwa für g1 so:

Sei i ∈ { 1,...,n}  und  v₁, ..., v_i , ..., v_n ) ∈ Vⁿ .

Für Linearität in der i-ten Komponente ist zu prüfen

1.  g( v₁, ..., a*v_i , ..., v_n ) =  a* g( v₁, ..., v_i , ..., v_n )  für alle a ∈ K

und

2.  g( v₁, ..., w+v_i , ..., v_n ) = g( v₁, ..., w , ..., v_n ) +  g( v₁, ..., v_i , ..., v_n )  für alle w ∈ V .

zu 1.  Sei also a ∈ K dann gilt

g( v₁, ..., a*v_i , ..., v_n )    nach Def. von g

= f( L(v₁), ..., L(a*v_i) , ..., L(v_n ) )  da L ∈ End(V)

=  f( L(v₁), ..., a*L(v_i) , ..., L(v_n ) ) da f n-linear

=a* f( L(v₁), ..., L(v_i) , ..., L(v_n ) )

entsprechend auch zu 2...................

alternierend ? 

Seien also zwei Komponenten von ( v₁, ...., v_n )  gleich, etwa so 

( v₁, .,v,...,v,..., v_n )   dann ist

g( v₁, .,v,...,v,..., v_n )  nach Def.

=f  ( L(v₁), .,L(v),...,L(v),..., v_n ) da L eine Abb. ist,

ist auch   L(v) = L(v)  und weil f alternierend ist ,

ist also  f  ( L(v₁), .,L(v),...,L(v),..., v_n )  = 0 .

etc.

Comments

Hallo mathef,

Dazu möchte ich gerne fragen: Sind (b) (c) (d) demnach keine alternierende n-Linearform?

(b) ist schon nicht homogen in der j.Komponente, da g₂(v₁,...,av_j,...,v_n) = g₂(v₁,...,v_j,...,v_n) ≠ a  g₂(v₁,...,v_j,...,v_n)

(c) ist schon nicht homogen in der j.Komponente, da g₃(v₁,...,av_j,...,v_n) = ( ∑ⁿ_{i=1, i≠j} f(v₁,...,L(v_i),...,v_n)  ) + a f(v₁,...,L(v_j),...,v_n)  ≠ a  g₃(v₁,...,v_j,...,v_n)

(d) ist schon nicht additiv in der j.Komponente, da g₄(v₁,...,w+v_j,...,v_n) = ( ∑ⁿ_i=1 f(v₁,...,v_i+x,...,v_n)  ) + f(v₁,...,w,...,v_n)  ≠  g₄(v₁,...,w,...,v_n) +  g₄(v₁,...,v_j,...,v_n)

Stimmt das?

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(b) ist schon nicht homogen in der j.Komponente,


(wer ist j ? , kannst ja gleich die 1. Komp. nehmen )

da g₂(av₁,....,v_n)    (Das soll ja eine Summe sein ! )

= f(L(x) , v₂,.....,v_n) + f(av₁,L(x), v₃ , ...,v_n) + f (av₁, v₂ , L(x) , v4, ..., v_n )  + ..........

≠  a * g₂(v₁,...,v_j,...,v_n)  ;    denn 

a * g₂(v₁,...,v_j,...,v_n) 

=  a*f(L(x) , v₂,.....,v_n) + a*f(v₁,L(x), v₃ , ...,v_n) + a*f (v₁, v₂ , L(x) , v4, ..., v_n )  + ..........

und bis auf den 1. Summanden sind die gleich, und wenn sie vollständig gleich wären, dann

müsste auch    f(L(x) , v₂,.....,v_n) = a*f(L(x) , v₂,.....,v_n) sein und wegen der

Multilinearität von f und der Lin. von L wäre dann    f(L(x) , v₂,.....,v_n) = f(L(ax) , v₂,.....,v_n)  

Aber da sehe ich auch nicht so recht durch ????????????

Bei c) müsste es aber doch stimmen, denn wegen der Linearität von L kannst du


dort ja das a herausziehen und additiv ist es auch .  

Alternierend aber wohl nicht ; denn wenn zwei Komponenten gleich sind und bei der

einen L angewandt wird, sind die ja nicht mehr gleich.


Bei d) hast du wieder so ein j, das nicht definiert ist. aber ich glaube auch, dass es nicht


additiv ist, das muss aber wohl irgendwie über die Summe begründet werden.So 100%-ig blick  ich da auch nicht durch.

 

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Vielen Dank für die Hilfe, jetzt ist mir das mit den Summen bei (b) (c) (d) schon klarer geworden.

Bei (b) und (d) zeigt man also, dass eine Eigenschaft der Linearität in der 1. Komponente nicht erfüllt ist und man ist fertig. (Widerlegung)

(c) ist also eine n-Linearform. Eine Frage bleibt mir dennoch: Ist (c) auch alternierend?

Wenn zwei Komponenten v_i und v_j für feste i < j aus {1,..,n} gleich sind, ist auch L (v_i) = L (v_j). Da f alternierend ist, fallen alle Summanden (=0) in der Summe weg außer dem i-ten und j-ten. Da f auch schiefsymmetrisch ist, wäre dann g₃ = 0. Denn beim j.Summanden nutzt man: f ist schiefsymmterisch und vertauscht die i-te und j-te Stelle, dann hat man eine Differenz f(...,L(v_i), ...,v_j ,...) - f(...,L(v_j),...,v_i,...) = 0 nach Vor.

Wäre das ein Beweis für g₃ alternierend bzw. Wenn nicht, wo liegt der Fehler?

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Klingt doch ganz gut.