Gleichung auflösen (Studium)

Question

Aufgabe:

Ich komme nicht weiter, könnte mir jemand helfen bitte, ich weiß nicht wie ich die Gleichung lösen soll

Text erkannt:

\( \vec{a}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ t \\ 2 t \end{array}\right), \quad \vec{b}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ -1 \end{array}\right), \quad \vec{c}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ -2 \end{array}\right), \quad \vec{d}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ \sqrt{3} \end{array}\right) \)
\( \begin{array}{l} \text { a.) } \varphi(\vec{a}, \vec{b})=\frac{2 \pi}{3}, \cos (4)=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b} \cdot|\vec{b}|}{\mid \vec{a}},|\vec{a}|=\sqrt{1+t^{2}+4 t^{2}}|\vec{b}|=\sqrt{4+1+1} \\ =\sqrt{1+5 t^{2}}=\sqrt{6} \end{array} \)
\( \vec{a} \cdot \vec{b}=2-t-2 t=2-3 t \)
\( \begin{array}{l} \Rightarrow \frac{2 \pi}{3}=\frac{2-3 t}{\sqrt{1+5 t^{2}} \cdot \sqrt{6}} \quad 1 \cdot \sqrt{1+5 t^{2}} \cdot \sqrt{6} \\ \left.\Leftrightarrow \sqrt{1+5 t^{2}} \cdot \sqrt{6} \cdot \frac{2 \pi}{3}=2-3 t \quad \right\rvert\,()^{2} \\ \Leftrightarrow\left(1+5 t^{2}\right) \cdot(6) \cdot\left(\frac{2 \pi}{3}\right)^{2}=(2 \cdot 3 t)^{2} \\ \Leftrightarrow\left(1+5 t^{2}\right) \cdot \frac{24 \pi^{2}}{9}=4-6 t-6 t+6 t^{2} \\ \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \end{array} \)

Comments

Was soll man mit \( \vec{c} \) und \( \vec{d} \) machen?

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Für die Frage irrelevant. Die Aufgabe besteht ja offenbar aus mehreren Teilaufgaben.

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Text erkannt:

Bonusaufgabe (5 Punkte). Es seien
\( \vec{a}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ t \\ 2 t \end{array}\right), \quad \vec{b}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ -1 \end{array}\right), \quad \vec{c}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ -2 \end{array}\right), \quad \vec{d}=\left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right) . \)
a) Bestimmen Sie alle \( t \in \mathbb{R} \), sodass \( \varphi(\vec{a}, \vec{b})=\frac{2 \pi}{3} \).
b) Überprüfen Sie, für welche \( t \in \mathbb{R} \) die Vektoren \( \vec{a}, \vec{b} \) und \( \vec{c} \) in einer Ebene liegen.
c) Bestimmen Sie den Einheitsvektor \( \vec{e} \), der orthogonal zu \( \vec{c} \) und \( \vec{d} \) ist und mit welchem das Tripel \( (\vec{c}, \vec{d}, \vec{e}) \) negativ orientiert ist. Bestimmen Sie außerdem den Flächeninhalt des Parallelogramms, das von \( \vec{c} \) und \( \vec{d} \) aufgespannt wird.

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Sonst benutzen doch immer die Lehrer den Rotstift, wenn sie Fehler markieren wollen.

Answer 1

Zunächst beseitige Deinen Rechenfehler: \((3t)^2=?\). Du benutzt keine binomische Formel, muss man auch nicht, kennen sollte man sie aber.

Das ist eine quadratische Gleichung in t. Stelle um und fasse zusammen und bringe es so in die Standardform. Dann wende eine Methode aus der Schule an (pq-Formel, abc-Formel, quadratische Ergänzung).

Comments

Warum ist das aber falsch? Ich muss doch ()^2 nehmen, um die Wurzel wegzubekommen?

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Der Schritt ist in Ordnung und wurde auch nicht bemängelt. Es ist von einem Rechenfehler die Rede. Es ist nicht \((3t)^2=6t^2\).

Es ist übrigens ein interessantes Phänomen, dass bei "hoch 2" regelmäßig "mal 2" gerechnet wird. Mich würde wirklich mal interessieren, woher das eigentlich kommt.

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Achja, döschwo hat recht, da ist noch ein Fehler: Du hast \(\varphi\) in die Gleichung eingesetzt, reingehört aber \(\cos\varphi\). Damit ist aber alles klar, oder?

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ups hab ausversehen 3*2 gerechnet, und wie mache ich jetzt weiter? ich weiß nicht wie ich pi wegbekommen kann (müssen alles ohne TR machen)

Text erkannt:

\( \begin{array}{l} \Rightarrow \frac{2 \pi}{3}=\frac{2-3 t}{=\sqrt{1+5 t^{2}} \cdot \sqrt{6}} \quad 1 \cdot \sqrt{1+5 t^{2}} \cdot \sqrt{6} \\ \left.\Leftrightarrow \sqrt{1+5 t^{2}} \cdot \sqrt{6} \cdot \frac{2 \pi}{3}=2-3 t \quad \right\rvert\,()^{2} \\ \Leftrightarrow\left(1+5 t^{2}\right) \cdot(6) \cdot\left(\frac{2 \pi}{3}\right)^{2}=(2 \cdot 3 t)^{2} \\ \Leftrightarrow\left(1+5 t^{2}\right) \cdot \frac{24 \pi^{2}}{9}=9 t^{2}-12 t+4 \\ \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \end{array} \)
9 von 10

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Hab's Dir gerade gesagt.

Answer 2

\( \vec{a}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ t \\ 2 t \end{array}\right), \quad \vec{b}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ -1 \end{array}\right), \quad \varphi(\vec{a}, \vec{b})=\Large\frac{2 \pi}{3} \)

\( \displaystyle \cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}=\frac{2-3t}{\sqrt{1+5t^2}\cdot\sqrt{6}}=\frac{2-3t}{\sqrt{6+30t^2}}\)

\( \displaystyle t= 4+\sqrt{\frac{43}{3}}\)

Comments

Danke aber so bringt mir das doch nichts:(( ich verstehe garnichts :( wie komme ich auf t?

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\( \displaystyle -\frac{1}{2}=\frac{2-3t}{\sqrt{6+30t^2}}\)

\( \displaystyle \sqrt{6+30t^2}=6t-4\)                         6t-4 muss positiv sein

\( \displaystyle 6+30t^2=(6t-4)^2\)

\( \displaystyle 6+30t^2=36t^2-48t+16\)

\( \displaystyle 6t^2-48t+10 =0\)

\( \displaystyle t^2-8t+\frac{10}{6} =0\)

\( \displaystyle t= 4+\sqrt{\frac{43}{3}}\)

Du wirst feststellen, dass ich beim Plusminus der Lösungsformel für die quadratische Gleichung das Minus weggelassen habe. Dies aufgrund der Bemerkung, die in diesem Kommentar beim Lösungsweg steht. Wenn man noch die Lösung für t mit dem Minus rechnen würde, wäre der Winkel der Nebenwinkel, also 1/3 pi. Es ist aber ein Winkel von 2/3 pi vorgegeben.