Könnte jemand zum Verständnis des Flächenintegrals ( Studium ) beitragen...?

Question

Aufgabe:

Hallöchen,

könnte jemand zum Verständnis des Flächenintegrals ( Studium ) beitragen...?

Mit Flächenintegral meine ich folgendes:

Beispiel:                                                                                                                   Es gilt : f(x,y) = a*x*y

((Doppelintegral)) dxdy*f(x,y)

Das Doppelintegral im Beispiel dient zur Berechnung des Flächeninhalts eines Rechtecks.

So hatten wir das jedenfalls in der Vorlesung.

Ich verstehe einfach nicht wozu man die Funktion f(x,y) = axy braucht.

Ich verstehe das über Flächenelmente integriert werden soll...es kommt aber in dem Beispiel dann etwas sehr komisches raus und zwar : 1/4 * a * L^4

Über Hilfe würde ich mich echt freuen.

Problem/Ansatz:

Answer 1

Hallo

um den Flächeninhalt eines Rechtecks mit Länge a und Breit b etwa zu bestimmen fbildet man nur \( \int\limits_{0}^{b} \int\limits_{0}^{a} dxdy\) mit dem Ergebnis a*b

wenn man dagegen \( \int\limits_{0}^{b} \int\limits_{0}^{a} x*ydxdy\) rechnet bestimmt man nicht dei Fläche  des Rechtecks sondern integriert eben x*y über die Fläche. Dabei kannst du die etwa x*y als die Massendichte dichte an der Stelle (x,y) feststellen oder die Höhe über der Stelle (x,y) dann gibt das Integral die Masse der Fläche oder das Volumen  des Gebirges oberhalb des Rechtecks mit den Höhen H(x,y)=xy

ρ(x,y) *dx*dy gibt die Masse auf dem Miniquadrat dxdy bzw H(x,y)dxdy das Volumen über dem Quadrat dxdy. Was f(x,y) jeweils bedeutet ist den Mathematikern egal, irgendeine vom Punkt (x,y) abhängige Funktion.

dxdy allein gibt die Fläche des Quadrätchens, wenn du über alle Quadrätchen summierst hast du die Fläche

Gruß lul

Comments

Habs jetzt fast endlich begriffen. Nur eine Frage bleibt; "Macht es geometrisch einen Unterschied ob ich zuerst über y und dann über x integrieren bzw umgekehrt...?

Also wenn wir jetzt statt des Rechtecks ein Dreieck nehmen würden.

Wieso ändern sich dann auch gleichzeitig die Integrationsgrenzen?

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Frage hat sich erledigt. Es ging darum das die Integrationsgrenzen beim Dreieck variable sind → lineare Gleichungen