Skalarprodukt/Norm ableiten Beweisschritt

Question

Ich habe eine Frage zu einem Beweisschritt:

ich habe ein Skalarprodukt <f|g>_(a,b) = $\int\limits_{a}^{b}$f(x)g(x) dx        nachfolgend nur mit <f|g> bezeichnet

und die Norm ||f||_(a,b) = $\sqrt{<f|f>}$               nachfolgend nur mit ||f|| bezeichnet

Ich habe nun g(a) =  ||f - $\sum\limits_{j=0}^{N}{aj*x^{j}}$ ||^2  mit aj ist a_j gemeint und a ∈ $ℝ^{N+1}$

g(a) möchte ich nun nach meinen einzelnen a_i Komponenten ableiten und die Ableitungen jeweils 0 setzen. Im Beweis wird angegeben, dass

0 = -2 * <f - $\sum\limits_{j=0}^{N}{aj*x^{j}}$ | xⁱ > ist für alle i=0,....,N, doch ich verstehe nicht, wie man drauf kommt.

Am Anfang wird man die Norm wahrscheinlich aufteilen auf ||f||^2 - 2<f | $\sum\limits_{j=0}^{N}{aj*x^{j}}$ > + ||$\sum\limits_{j=0}^{N}{aj*x^{j}}$ ||^2

Beim Ableiten wird der f Term verschwinden, doch wie sich der Rest erübrigt, ist mir nicht klar

Answer 1

Wenn wir von Deiner Aufteilung ausgehen und den 2. Term betrachten, so folgt wegen der Linearität des Skalarprodukts:

$$\langle f \mid \sum_{j=0}^Na_jx^j\rangle=\sum_{j=0}^N a_j \langle f \mid x^j\rangle$$

Wenn wir jetzt nach a_i ableiten wollen, so sind die Skalarprodukte $\langle f \mid x^j\rangle$ einfach Zahlen. Wir erhalten

$$\frac{\partial}{\partial a_i}\langle f \mid \sum_{j=0}^Na_jx^j\rangle=\langle f \mid x^i\rangle$$

Für den 3. Term folgt aus der Linearität des Skalarprodukts:

$$\langle \sum_{k=0}^N a_kx^k \mid \sum_{j=0}^Na_jx^j\rangle=\sum_{k=0}^N\sum_{j=0}^N a_k a_j\langle x^k\mid x^ j\rangle$$

Wenn wir nach a_i differenzieren, erhalten wir für die einzelnen Summanden:

$$\frac{\partial}{\partial a_i}\left(a_k a_j\langle x^k\mid x^ j\rangle\right)=\begin{cases}a_j\langle x^i\mid x^ j\rangle & \text{ if } k=i,j \neq i \\ a_k\langle x^k\mid x^ i\rangle & \text{ ij }j=i,k \neq i \\ 2a_i\langle x^i\mid x^ i\rangle& \text{ if }j=k=i \end{cases}$$

Alle anderen Terme liefern 0. Damit

$$\frac{\partial}{\partial a_i}\langle \sum_{k=0}^N a_kx^k \mid \sum_{j=0}^Na_jx^j\rangle=2 \sum_{j=0}^N a_j\langle x^j\mid x^i\rangle=2 \langle\sum_{j=0}^N a_j x^j\mid x^i\rangle$$

Dabei wird ausgenutzt, dass das Skalarprodukt symmetrisch ist.

Comments

Vielen Dank für die detaillierte Antwort!

Konkret hing ich beim dritten Term.
Ich sollte es nun verstehen, danke nochmal.