Aufgabe:
Gegeben seien zwei (unendliche) Dezimalbrüche
0, a_1a_2a_3a_4...
0, b_1b_2b_3b_4...
die gegen dieselbe Zahl x ∈ R konvergieren. Zeigen Sie: Entweder gilt an = bn für alle n ⩾ 1 oder es existiert eine natürliche Zahl k ⩾ 1, so dass (nach evtl. Vertauschung der Rollen von a und b) gilt
a_n = b_n für alle n < k,
a_k = b_k + 1 ,
a_n =0 für alle n>k,
b_n = 9 für alle n > k.
Problem/Ansatz:
1. Dezimaldarstellungen und Konvergenz:
- Beide Dezimaldarstellungen \( 0.a_1a_2a_3\ldots \) und \( 0.b_1b_2b_3\ldots \) konvergieren gegen dieselbe Zahl \( x \in \mathbb{R} \).
- Falls \( a_n = b_n \) für alle \( n \), sind die Darstellungen identisch, Beweis abgeschlossen.
2. Unterschied ab einer Stelle \( k \):
- Sei \( k \) die kleinste Stelle, an der \( a_k \neq b_k \).
- Vertauschung der Rollen von \( a \) und \( b \) erlaubt, sodass \( a_k = b_k + 1 \).
3. Folgen für nachfolgende Stellen:
- Für \( n > k \): \( a_n = 0 \) und \( b_n = 9 \), da \( 0.999\ldots = 1.0 \) gilt.
4. Zusammenfassung:
- Entweder \( a_n = b_n \) für alle \( n \), oder es gibt ein \( k \), sodass:
a_n = b_n \text{ für } n < k, \, a_k = b_k + 1, \, a_n = 0 \text{ für } n > k, \, b_n = 9 \text{ für } n > k.
