Berechne V und O des neu entstandenen Körpers.

Question

Aus einer quadratischen Pyramide wurden \( \frac{3}{8} \) herausgeschnitten. (siehe Abb.)

Es gilt: \( h_{s}=9,2 \mathrm{~cm} \) und \( \varepsilon=69,2^{\circ} \)
Berechne \( V \) und \( O \) des neu entstandenen Körpers.

Answer 1

Aloha :)

Die Höhe der Pyramide ist \(h_s=9,2\,\mathrm{cm}\).

Für die Diagonale \(d\) der quadratischen Grundfläche gilt:$$\tan\varepsilon=\frac{h_s}{\frac d2}\implies d=\frac{2h_s}{\tan\varepsilon}$$

Für die Kantenlänge \(a\) der quadratischen Grundfläche gilt nach Pythagoras:$$d^2=a^2+a^2=2a^2\implies a^2=\frac12\,d^2$$

Das Volumen einer Pyramide ist \(\frac13\) Grundfläche mal Höhe. Da von der Pyramide aber \(\frac38\) rausgeschnitten sind, erhalten wir für das restliche Volumen:$$V=\frac58\cdot\frac13\cdot a^2\cdot h_s=\frac{5}{24}\cdot\frac12\,\left(\frac{2h_s}{\tan\varepsilon}\right)^2\cdot h_s=\frac{5}{12}\cdot\frac{h_s^3}{\tan^2\varepsilon}\approx46,82\,\mathrm{cm}^3$$

Kriegst du damit die Berechnung der Oberfläche alleine hin?

Comments

Die Höhe der Pyramide ist \(h_s=9,2\,\mathrm{cm}\).

Da wäre ich mir nicht so sicher, dass mit \(h_s\) die Höhe der Pyramide gemeint ist..

Answer 2

Ich gehe davon aus, dass \(h_s\) die Höhe eines Seitenflächendreiecks ist.

Berechnung der Grundflächenseite \(a\)

\(\tan( \varepsilon) =\frac{h_s}{\frac{a}{2}}=\frac{2h_s}{a}\)

\(a=\frac{2h_s}{\tan( \varepsilon)}\)

Berechnung der Pyramidenhöhe:

\(h^2+(\frac{a}{2})^2=h_s^2 \)

\(h^2=h_s^2- (\frac{a}{2})^2=h_s^2-\frac{a^2}{4}=\frac{4h_s^2-a^2}{4}\)

\(h=\frac{1}{2}\sqrt{4h_s^2-a^2}\)

\(V=\frac{1}{3}a^2\cdot h \)

\(V=\frac{1}{3}a^2\cdot \frac{1}{2}\sqrt{4h_s^2-a^2}=\frac{1}{6}a^2\cdot \sqrt{4h_s^2-a^2} \)

Aus einer quadratischen Pyramide wurden \( \frac{3}{8} \) herausgeschnitten:

herausgeschnittenes Volumen:

\(V_1=\frac{3}{8} \cdot \frac{1}{6}a^2\cdot \sqrt{4h_s^2-a^2}=\frac{1}{16}a^2\cdot \sqrt{4h_s^2-a^2} \) 

Restpyramide: \(V_R=V-V_1\)

\(V_R=\frac{1}{6}a^2\cdot \sqrt{4h_s^2-a^2}-\frac{1}{16}a^2\cdot \sqrt{4h_s^2-a^2} \)

\(V_R=( \frac{1}{6}-\frac{1}{16}) \cdot a^2\cdot \sqrt{4h_s^2-a^2} \)

\(V_R= \frac{5}{48} \cdot a^2\cdot \sqrt{4h_s^2-a^2} \)

Oberfläche ganze Pyramide:

\(O=4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a\cdot h_s+a^2 \)

Nun weiter zur Teiloberfläche...